Решение: Рациональное логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(4x^2)+35}{\log_2^2 x-36}\geq -1$.
Решение по шагам
6 шаговТак как логарифм определён при $x>0$, а знаменатель не должен обращаться в ноль, получаем область допустимых значений:
$$x>0,\quad \log_2^2 x-36\neq 0,\quad \log_2 x\neq \pm 6$$Выполним замену $t=\log_2 x$. Тогда $\log_2(4x^2)=\log_2 4+2\log_2 x=2+2t$.
$$t=\log_2 x,\quad \log_2(4x^2)=2+2t$$Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю.
$$\frac{2t+37}{t^2-36}+1\geq 0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{2t+37+t^2-36}{t^2-36}\geq 0$$Разложим числитель и знаменатель на множители.
$$\frac{t^2+2t+1}{t^2-36}=\frac{(t+1)^2}{(t-6)(t+6)}\geq 0$$Числитель неотрицателен и равен нулю при $t=-1$. Знаменатель положителен при $t<-6$ или $t>6$, отрицателен при $-6<t<6$. Поэтому:
$$t\in(-\infty,-6)\cup\{-1\}\cup(6,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$: $x=2^t$.
$$x\in\left(0,2^{-6}\right)\cup\left\{2^{-1}\right\}\cup\left(2^6,+\infty\right)$$x\in\left(0,\dfrac{1}{64}\right)\cup\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\cup(64,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $\log_2 x=-6$ и $\log_2 x=6$, при которых знаменатель равен нулю.
Ошибочно считают, что точку $t=-1$ нужно исключить вместе с корнями знаменателя.
Неверно преобразуют $\log_2(4x^2)$ в $2\log_2 x$ и забывают слагаемое $\log_2 4=2$.