Решение: Рациональное неравенство со степенями
Решите неравенство
$\dfrac{10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50}{5^x-x^2-4}\geqslant0$.
Решение по шагам
5 шаговРазложим числитель на множители, учитывая, что $10^x=2^x\cdot5^x$:
$$10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50=(5^x-25)(2^x-2)$$Найдём область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Имеем $5^1-1^2-4=0$, поэтому $x=1$ является корнем знаменателя.
Функция $5^x-x^2-4$ отрицательна при $x<1$ и положительна при $x>1$. Следовательно, знаменатель имеет знак минус на $(-\infty;1)$ и знак плюс на $(1;+\infty)$.
Нули числителя определяются из уравнений $5^x-25=0$ и $2^x-2=0$: соответственно $x=2$ и $x=1$.
Рассмотрим знаки на промежутках. При $x<1$ числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна. При $1<x<2$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна. При $x>2$ числитель и знаменатель положительны. Точка $x=2$ включается, так как знаменатель в ней не равен нулю.
$x\in[2;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $x=1$, хотя знаменатель при $x=1$ равен нулю.
Не учитывают, что при $x=2$ числитель равен нулю, поэтому точка включается.
Неверно раскладывают числитель на множители.
Определяют знак дроби только по числителю, не исследуя знаменатель.