16
Решение: Решение показательного неравенства
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИDA9409Развёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 5 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Введём замену $t=8^x$. Тогда $t>0$, а $64^x=(8^x)^2=t^2$.
$$t=8^x>0,\qquad 64^x=t^2$$2
Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль.
$$2t^2-32\neq0\quad\Longrightarrow\quad t\neq4$$3
Перенесём единицу в левую часть и приведём выражение к общей дроби.
$$\frac{8t-40}{2t^2-32}-1=\frac{8t-40-2t^2+32}{2t^2-32}=-\frac{(t-2)^2}{t^2-16}$$4
Решаем неравенство с учётом условий $t>0$ и $t\neq4$. Числитель $(t-2)^2$ неотрицателен, поэтому дробь неотрицательна при $t=2$ и при $t>4$.
$$-\frac{(t-2)^2}{t^2-16}\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad t=2\ \text{или}\ t>4$$Возвращаемся к переменной $x$.
$$8^x=2\Longrightarrow x=\frac13;\qquad 8^x>4\Longrightarrow x>\log_8 4=\frac23$$Ответ
x=\frac13\ или\ x\in\left(\frac23;+\infty\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значение $t=4$, при котором знаменатель исходной дроби равен нулю.
Ошибочно включают точку $x=\frac23$ в ответ.
Забывают, что при замене $t=8^x$ выполняется условие $t>0$.