Решение: Логарифмическое неравенство
Решение по шагам
7 шаговНайдём область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть положительным.
$$25-x^2>0\quad\Longrightarrow\quad -5<x<5$$Введём замену $t=\log_3(25-x^2)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$t^2-3t+2\ge 0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители и решим неравенство.
$$(t-1)(t-2)\ge 0\quad\Longrightarrow\quad t\le 1\ \text{или}\ t\ge 2$$Так как основание логарифма больше единицы, получаем две системы.
$$\log_3(25-x^2)\le 1\Longrightarrow 0<25-x^2\le 3\Longrightarrow 22\le x^2<25$$Из первого случая с учётом области допустимых значений:
$$x\in(-5,-\sqrt{22}]\cup[\sqrt{22},5)$$Рассмотрим второй случай:
$$\log_3(25-x^2)\ge 2\Longrightarrow 25-x^2\ge 9\Longrightarrow x^2\le 16\Longrightarrow x\in[-4,4]$$Объединяем решения двух случаев.
$$x\in(-5,-\sqrt{22}]\cup[-4,4]\cup[\sqrt{22},5)$$Ответ: $x\in(-5,-\sqrt{22}]\cup[-4,4]\cup[\sqrt{22},5)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений $25-x^2>0$.
Забывают, что при основании $3>1$ знак неравенства при переходе от логарифма к аргументу сохраняется.
Неверно включают точки $x=-5$ и $x=5$, где логарифм не определён.
При решении условия $25-x^2\ge 9$ получают неправильный промежуток.