Решение: Рациональное неравенство с показательной функцией
Решение по шагам
6 шаговВыполним замену $t = 3^x$. Так как показательная функция положительна, $t > 0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль: $t \ne 36$.
$$t=3^x,\quad t>0,\quad t\ne36$$Приведём выражение к общему знаменателю:
$$t+\frac{243}{t-36}=\frac{t(t-36)+243}{t-36}=\frac{t^2-36t+243}{t-36}$$Разложим числитель на множители:
$$t^2-36t+243=(t-9)(t-27)$$Решаем рациональное неравенство методом интервалов. Критические точки: $9$, $27$ и $36$. С учётом условия $t>0$ получаем:
$$\frac{(t-9)(t-27)}{t-36}\ge0\quad\Longrightarrow\quad t\in[9,27]\cup(36,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$. Поскольку функция $3^x$ возрастает, неравенства преобразуются следующим образом:
$$9\le3^x\le27\quad\Longrightarrow\quad2\le x\le3$$Для второго промежутка имеем:
$$3^x>36\quad\Longrightarrow\quad x>\log_3 36$$x\in[2;3]\cup(\log_3 36;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область допустимых значений $3^x\ne36$.
Забывать, что $3^x>0$.
Включать точку $x=\log_3 36$, хотя при ней знаменатель равен нулю.
Неверно определять знаки на промежутках методом интервалов.