16
Решение: Неравенство с логарифмом
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИB0D5e7Развёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 9 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
9 шагов1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:
$$25-5^x>0$$2
Так как $5^2=25$, получаем:
$$5^x<5^2\quad\Rightarrow\quad x<2$$3
На ОДЗ применяем свойство взаимно обратных функций:
$$3^{\log_3(25-5^x)}=25-5^x$$4
Исходное неравенство равносильно:
$$25-5^x+25^x-45\ge 0$$5
Введём замену $t=5^x$. Тогда $25^x=(5^x)^2=t^2$, и получаем:
$$t^2-t-20\ge 0$$6
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(t-5)(t+4)\ge 0$$7
Корни уравнения — $t=-4$ и $t=5$. С учётом условия $t=5^x>0$ получаем $t\ge 5$.
8
Возвращаемся к переменной $x$:
$$5^x\ge 5\quad\Rightarrow\quad x\ge 1$$Объединяем результат с ОДЗ $x<2$.
Ответ
Ответ: $x\in[1;2)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область допустимых значений логарифма.
Ошибочно заменять $25^x$ на $5^x$ вместо $(5^x)^2$.
Включать точку $x=2$, хотя при ней аргумент логарифма равен нулю.