Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-\log_3(x+5)\geq\log_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right)$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$$\frac{1}{x}+2>0,\quad x+5>0,\quad \frac{x+4}{x^2}>0$$Из первого условия получаем $x<-\frac12$ или $x>0$. С учётом остальных условий область допустимых значений равна:
$$x\in\left(-4,-\frac12\right)\cup(0,+\infty)$$Поскольку основание логарифмов $3>1$, преобразуем разность логарифмов и сравниваем аргументы:
$$\frac{\frac1x+2}{x+5}\geq\frac{x+4}{x^2}$$Приведём левую часть и перенесём всё в одну сторону. На ОДЗ $x+5>0$, поэтому знаменатель $x^2(x+5)$ положителен:
$$\frac{2x+1}{x(x+5)}-\frac{x+4}{x^2}=\frac{x(2x+1)-(x+4)(x+5)}{x^2(x+5)}=\frac{x^2-8x-20}{x^2(x+5)}=\frac{(x-10)(x+2)}{x^2(x+5)}\geq0$$Так как знаменатель положителен на ОДЗ, решаем неравенство $(x-10)(x+2)\geq0$:
$$x\in(-\infty,-2]\cup[10,+\infty)$$Пересекаем полученное множество с ОДЗ:
$$\left[(-\infty,-2]\cup[10,+\infty)\right]\cap\left[\left(-4,-\frac12\right)\cup(0,+\infty)\right]=\left(-4,-2\right]\cup[10,+\infty)$$x\in\left(-4,-2\right]\cup[10,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область допустимых значений логарифмов.
Ошибочно включать точку $x=-4$, где аргумент правого логарифма равен нулю.
Забывать, что основание $3>1$, поэтому знак неравенства при сравнении аргументов сохраняется.
Неверно учитывать знак знаменателя при приведении дробей.