Решение: Рациональное неравенство с показательной функцией
Решение по шагам
6 шаговОбласть допустимых значений определяется условием $3^x - 84 \ne 0$, то есть $3^x \ne 84$.
Выполним замену $t = 3^x$. Так как показательная функция положительна, $t > 0$. Неравенство принимает вид:
$$t + \dfrac{243}{t - 84} \le 0$$Приведём выражение к общему знаменателю:
$$\dfrac{t(t-84)+243}{t-84} \le 0$$Разложим числитель на множители:
$$\dfrac{t^2-84t+243}{t-84}=\dfrac{(t-3)(t-81)}{t-84}$$Критические точки: $t=3$, $t=81$ и $t=84$. С учётом условия $t>0$ метод интервалов даёт:
$$t \in (0;3] \cup [81;84)$$Возвращаемся к переменной $x$. Поскольку функция $3^x$ возрастает, получаем:
$$3^x \le 3 \Rightarrow x \le 1;\qquad 81 \le 3^x < 84 \Rightarrow 4 \le x < \log_3 84$$x \in (-\infty;1] \cup [4;\log_3 84)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $3^x - 84 \ne 0$.
Забывать, что после замены $t=3^x$ выполняется условие $t>0$.
Включать точку $x=\log_3 84$, где исходное выражение не определено.
Неверно определять знаки на интервалах после разложения на множители.