Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_3(81x)}{\log_3 x-4}+\dfrac{\log_3 x-4}{\log_3(81x)}\geq\dfrac{24-\log_3 x^8}{\log_3^2 x-16}$.
Решение по шагам
6 шаговОбласть допустимых значений определяется условиями $x>0$, $\log_3 x-4\neq0$, $\log_3(81x)\neq0$ и $\log_3^2x-16\neq0$. Поэтому $x>0$, $\log_3x\neq4$, $\log_3x\neq-4$.
Введём замену $t=\log_3x$. Тогда $\log_3(81x)=\log_3(3^4x)=t+4$, а $\log_3x^8=8t$.
Подставим замену и перенесём правую часть в левую:
$$$\dfrac{t+4}{t-4}+\dfrac{t-4}{t+4}-\dfrac{24-8t}{t^2-16}\geq0$$$Приведём выражение к общему знаменателю:
$$$\dfrac{(t+4)^2+(t-4)^2-(24-8t)}{(t-4)(t+4)}=\dfrac{2(t+2)^2}{(t-4)(t+4)}\geq0$$$Числитель неотрицателен и обращается в ноль при $t=-2$. Знаменатель положителен при $t<-4$ и $t>4$, а точка $t=-2$ даёт равенство.
Следовательно, $t\in(-\infty,-4)\cup\{-2\}\cup(4,+\infty)$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $x\in(0,3^{-4})\cup\{3^{-2}\}\cup(3^4,+\infty)$.
$x\in\left(0,\dfrac{1}{81}\right)\cup\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\cup(81,+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $\log_3x\neq4$ и $\log_3x\neq-4$.
Забывают, что при $t=-2$ числитель равен нулю, поэтому эта точка входит в ответ.
Неверно раскрывают $\log_3(81x)$ или $\log_3x^8$.