Решение: Логарифмическое неравенство с произведением
Решите неравенство $\left(\log_{0,25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1\right)\cdot\log_4(x+2)\le 0$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Для существования логарифмов необходимо $x+3>0$ и $x+2>0$, поэтому $x>-2$.
$$x>-2$$Преобразуем первый множитель: $x^2+6x+9=(x+3)^2$, а $\log_{0,25}(x+3)=-\dfrac{1}{2}\log_4(x+3)$.
$$\log_{0,25}^2(x+3)-\log_4((x+3)^2)+1=\frac14\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1$$Обозначим $t=\log_4(x+3)$. Тогда первый множитель равен $\dfrac14t^2-2t+1$, а не линейному выражению.
$$\frac14t^2-2t+1=\frac14(t^2-8t+4)$$Найдём нули первого множителя: $t^2-8t+4=0$, откуда $t=4\pm2\sqrt3$. Следовательно, $x+3=4^{4-2\sqrt3}$ или $x+3=4^{4+2\sqrt3}$.
$$x=4^{4-2\sqrt3}-3,\quad x=4^{4+2\sqrt3}-3$$Второй множитель обращается в ноль при $x=-1$. На области $x>-2$ расставляем точки в порядке $-2<-1<4^{4-2\sqrt3}-3<4^{4+2\sqrt3}-3$ и исследуем знаки произведения.
Знак произведения неотрицателен на промежутках $[-1,4^{4-2\sqrt3}-3]$ и $[4^{4+2\sqrt3}-3,+\infty)$, включая точки, в которых один из множителей равен нулю.
x\in[-1;\,4^{4-2\sqrt3}-3]\cup[4^{4+2\sqrt3}-3;\,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $\log_4((x+3)^2)=\log_4(x+3)$ вместо $2\log_4(x+3)$.
Забыть условие $x>-2$ из области допустимых значений.
Перепутать знак неравенства при анализе произведения.
Не включить точки, в которых один из множителей равен нулю.