Решение: Логарифмическое неравенство с модулем
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(8x)\cdot\log_3(27x)}{x^2-|x|}\le 0$.
Решение по шагам
6 шаговЛогарифмы определены при $8x>0$ и $27x>0$, поэтому $x>0$. При этом $|x|=x$, а знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$x^2-|x|=x^2-x=x(x-1)\ne 0$$Следовательно, область допустимых значений:
$$x>0,\quad x\ne 1$$Найдём нули числителя:
$$\log_2(8x)=0\Rightarrow 8x=1\Rightarrow x=\frac18$$Второй множитель обращается в ноль при:
$$\log_3(27x)=0\Rightarrow 27x=1\Rightarrow x=\frac1{27}$$Расположим критические точки: $0<\dfrac1{27}<\dfrac18<1$. Числитель положителен на интервалах $\left(0,\dfrac1{27}\right)$ и $\left(\dfrac18,+\infty\right)$, отрицателен на $\left(\dfrac1{27},\dfrac18\right)$. Знаменатель $x(x-1)$ отрицателен при $0<x<1$ и положителен при $x>1$.
Дробь должна быть неположительной. Поэтому подходят промежутки, где при $0<x<1$ числитель неотрицателен: нули числителя включаются, а точка $x=1$ исключается.
x\in\left(0;\frac1{27}\right]\cup\left[\frac18;1\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают ограничение $x>0$ из области определения логарифмов.
Включают точку $x=1$, хотя знаменатель при $x=1$ равен нулю.
Неверно учитывают, что при $x>0$ выражение $|x|$ равно $x$.
Путают порядок дробей $\dfrac1{27}$ и $\dfrac18$.