Решение: Показательное неравенство с дробью
Решите неравенство $\dfrac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60{,}5}\ge 0$.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем числитель, выразив все степени через $3^x$:
$$27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27=(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27$$Полученное выражение является кубом разности:
$$(3^x)^3-9(3^x)^2+27\cdot3^x-27=(3^x-3)^3$$Разложим знаменатель на полный квадрат:
$$50x^2-110x+60{,}5=50\left(x-\frac{11}{10}\right)^2$$Область определения задаётся условием ненулевого знаменателя:
$$x\ne\frac{11}{10}$$При всех допустимых значениях $x$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби определяется числителем. Так как функция $3^x$ возрастает, $3^x-3\ge0$ тогда и только тогда, когда $x\ge1$.
$$3^x-3\ge0\Longleftrightarrow 3^x\ge3\Longleftrightarrow x\ge1$$Из найденного промежутка исключаем точку, в которой знаменатель равен нулю.
$$x\in\left[1;\frac{11}{10}\right)\cup\left(\frac{11}{10};+\infty\right)$$$x\in\left[1;\frac{11}{10}\right)\cup\left(\frac{11}{10};+\infty\right)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значение $x=\frac{11}{10}$, при котором знаменатель равен нулю.
Ошибочно считают знаменатель меняющим знак, хотя он имеет вид полного квадрата.
Забывают, что равенство в числителе при $x=1$ допускается.