Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{3}\bigl((2-x)(x^2+5)\bigr) \geq \log_{3}(x^2-5x+6)+\log_{3}(4-x)$.
Решение по шагам
5 шаговОпределим область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными. Условия $2-x>0$, $4-x>0$ и $x^2-5x+6>0$ дают $x<2$.
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0$$Поскольку основание логарифмов $3>1$, объединим логарифмы в правой части и сравним аргументы.
$$(2-x)(x^2+5)\geq(x^2-5x+6)(4-x)$$Разложим квадратный трёхчлен и вынесем общий множитель. На ОДЗ множитель $2-x$ положителен, поэтому его можно сократить.
$$(2-x)(x^2+5)\geq(2-x)(3-x)(4-x)\iff x^2+5\geq(3-x)(4-x)$$Решим полученное линейное неравенство.
$$x^2+5\geq x^2-7x+12\iff 7x\geq7\iff x\geq1$$Пересечём полученное множество с областью допустимых значений $x<2$.
$$x\in[1;2)$$Ответ: $[1;2)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений логарифмов.
Меняют знак неравенства при сокращении на $2-x$, хотя на ОДЗ $2-x>0$.
Включают точку $x=2$, в которой один из аргументов логарифма равен нулю.