Решение: Решение показательного неравенства
Решите неравенство $$\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot2^{x+4}+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^{x-2}}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$$
Решение по шагам
7 шаговПоложим $t=2^x$. Тогда $t>0$, $8^{x+\frac23}=4t^3$, $4^{x+\frac12}=2t^2$, а $2^{x+4}=16t$.
$$t=2^x>0$$Ограничения на переменную возникают из знаменателей:
$$2t-1\ne0,\qquad 2t^2-144t+4\ne0$$После преобразования исходного неравенства получаем:
$$\frac{540t^4-250t^3-759t^2+609t-16}{t(2t-1)(t^2-72t+2)}\le0$$Корни знаменателя на положительной полуоси равны $t=\frac12$, $t=36-\sqrt{1294}$ и $t=36+\sqrt{1294}$. Числитель имеет единственный положительный корень $\alpha\approx0{,}0272$.
Методом интервалов с учётом знаков числителя и знаменателя получаем:
$$t\in\left(36-\sqrt{1294},\frac12\right)\cup\left(36+\sqrt{1294},+\infty\right)$$Корень числителя $t=\alpha$ также является точкой решения, поскольку исходное выражение в ней определено.
$$t=\alpha\approx0{,}0272$$Возвращаемся к переменной $x$, используя $x=\log_2 t$.
Ответ: $x=\log_2\alpha$ или $\log_2(36-\sqrt{1294})<x<-1$, или $x>\log_2(36+\sqrt{1294})$, где $\alpha$ — единственный положительный корень уравнения $540t^4-250t^3-759t^2+609t-16=0$, $\alpha\approx0{,}0272$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учесть условие $t>0$ после замены $t=2^x$.
Включить точки $t=\frac12$, $t=36-\sqrt{1294}$ или $t=36+\sqrt{1294}$, где исходное выражение не определено.
Потерять отдельную точку $t=\alpha$, в которой числитель равен нулю.
Неверно преобразовать $\frac{1}{2^{x-2}}$ в $\frac4t$.