Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{11}(8x^2+7)-\log_{11}(x^2+x+1)\geq\log_{11}\left(\dfrac{x}{x+5}+7\right)$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Выражения $8x^2+7$ и $x^2+x+1$ положительны при любых $x$, поскольку их дискриминанты отрицательны. Для третьего логарифма требуется
$$\dfrac{x}{x+5}+7=\dfrac{8x+35}{x+5}>0,\qquad x\neq -5$$Так как основание логарифмов удовлетворяет условию $11>1$, исходное неравенство равносильно сравнению аргументов:
$$\dfrac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\dfrac{8x+35}{x+5}$$Знаменатель $x^2+x+1$ всегда положителен. Перенесём выражения в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$$\dfrac{(8x^2+7)(x+5)-(8x+35)(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x+5)}\geq 0$$Упростим числитель:
$$(8x^2+7)(x+5)-(8x+35)(x^2+x+1)=24x^2-36x=12x(2x-3)$$Получаем рациональное неравенство:
$$\dfrac{12x(2x-3)}{x+5}\geq 0$$Критические точки: $-5$, $0$ и $\dfrac{3}{2}$. С учётом ОДЗ и знаков выражения получаем интервалы $(-5;0]$ и $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right)$.
x\in(-5;0]\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают проверить положительность аргумента третьего логарифма.
Неверно учитывают, что основание $11>1$ и знак неравенства сохраняется.
Включают точку $x=-5$, где выражение не определено.
Теряют точки $x=0$ и $x=\dfrac{3}{2}$, хотя неравенство нестрогое.