16
Решение: Неравенство с логарифмом
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИcc3F47Развёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
6 шагов1
Найдём область допустимых значений логарифма:
$$4-x^2>0\quad\Longrightarrow\quad -2<x<2$$2
На ОДЗ применим свойство степени и логарифма:
$$3^{\log_3(4-x^2)}=4-x^2$$3
Исходное неравенство равносильно:
$$4-x^2+x^4-10\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^4-x^2-6\ge 0$$4
Разложим многочлен на множители:
$$x^4-x^2-6=(x^2-3)(x^2+2)$$5
Так как $x^2+2>0$ при любых $x$, получаем:
$$x^2-3\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x^2\ge 3$$С учётом ОДЗ $-2<x<2$ имеем:
$$x\in(-2,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},2)$$Ответ
x\in(-2,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},2)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область допустимых значений логарифма.
Включать точки $x=-2$ и $x=2$, в которых аргумент логарифма равен нулю.
Ошибочно считать, что из $x^2\ge 3$ следует $x\ge\sqrt{3}$ без учёта отрицательной ветви.