Решение: Рациональное неравенство со степенями
Решение по шагам
5 шаговЗнаменатель $3^x-27$ не должен обращаться в ноль. Поэтому $3^x\ne27$, откуда $x\ne3$.
$$3^x-27\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne3$$Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.
$$\frac{2}{3^x+27}-\frac{1}{3^x-27}>0$$Упростим числитель полученной дроби.
$$\frac{2(3^x-27)-(3^x+27)}{(3^x+27)(3^x-27)}>0\quad\Rightarrow\quad\frac{3^x-81}{(3^x+27)(3^x-27)}>0$$Поскольку $3^x>0$, множитель $3^x+27$ положителен при любом $x$. Поэтому достаточно решить неравенство $\dfrac{3^x-81}{3^x-27}>0$.
$$\frac{3^x-81}{3^x-27}>0$$Критические значения: $3^x=27$ при $x=3$ и $3^x=81$ при $x=4$. Дробь положительна, когда оба выражения в числителе и знаменателе имеют одинаковые знаки: $x<3$ или $x>4$.
$$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$$Ответ: $x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $x=3$, хотя при ней знаменатель исходной дроби равен нулю.
Неверно учитывают знак произведения знаменателей.
Забывают, что $3^x+27>0$ при любом действительном $x$.