Решение: Рациональное неравенство с параметризацией
Решите неравенство $11^x - 6 - \dfrac{24\cdot 11^x - 244}{121^x - 16\cdot 11^x + 60} \le \dfrac{1}{11^x - 10}$.
Решение по шагам
7 шаговСделаем замену $t=11^x$. Тогда $t>0$, $121^x=t^2$, а знаменатель дроби раскладывается:
$$t^2-16t+60=(t-6)(t-10)$$Область допустимых значений определяется условиями $t\ne 6$ и $t\ne 10$.
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$t-6-\dfrac{24t-244}{(t-6)(t-10)}-\dfrac{1}{t-10}\le 0$$Числитель полученной дроби раскладывается на множители:
$$\dfrac{(t-6)^2(t-10)-(t-6)-(24t-244)}{(t-6)(t-10)}=\dfrac{(t-1)(t-10)(t-11)}{(t-6)(t-10)}$$С учётом того, что $t=10$ не входит в область допустимых значений, решаем неравенство методом интервалов:
$$\dfrac{(t-1)(t-11)}{t-6}\le 0$$При $t>0$ получаем $t\in(0;1]\cup(6;10)\cup(10;11]$. Точка $t=10$ исключена из-за ОДЗ.
Так как функция $11^x$ возрастает, переход обратно к переменной $x$ даёт:
$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_{11}6;\log_{11}10)\cup(\log_{11}10;1]$$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_{11}6;\log_{11}10)\cup(\log_{11}10;1]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $11^x=6$ и $11^x=10$ из области допустимых значений.
Забывают, что при сокращении множителя $t-10$ точка $t=10$ остаётся запрещённой.
Неверно учитывают возрастание функции $11^x$ при переходе от $t$ к $x$.