Решение: Кредит с ежегодным уменьшением долга
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 53 875 тыс. рублей. Найдите $S$.
Решение по шагам
6 шаговПосле платежей долг на июль 2029 года составит $75\%$ от первоначального долга, то есть $0{,}75S$. Перед первым платежом долг увеличится до $1{,}25S$, поэтому первый платёж равен:
$$P_1=1{,}25S-0{,}75S=0{,}5S$$На июль 2030 года долг должен составить $0{,}75^2S=0{,}5625S$. Перед вторым платежом долг равен $1{,}25\cdot0{,}75S=0{,}9375S$.
$$P_2=0{,}9375S-0{,}5625S=0{,}375S$$На июль 2031 года долг должен составить $0{,}75^3S=0{,}421875S$. Перед третьим платежом долг равен $1{,}25\cdot0{,}5625S=0{,}703125S$.
$$P_3=0{,}703125S-0{,}421875S=0{,}28125S$$Перед последним платежом долг увеличится до $1{,}25\cdot0{,}421875S=0{,}52734375S$, после чего будет выплачен полностью.
$$P_4=0{,}52734375S$$Сумма всех платежей равна 53 875 тыс. рублей. Составим уравнение:
$$0{,}5S+0{,}375S+0{,}28125S+0{,}52734375S=53875$$Сложим коэффициенты и найдём размер кредита:
$$1{,}68359375S=53875,\quad S=\frac{53875}{1{,}68359375}=32000$$S=32000\text{ тыс. рублей}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать январское увеличение долга на 25 % перед каждым платежом.
Считать, что долг уменьшается на 25 % от первоначальной суммы, а не от долга на июль предыдущего года.
Не включить в сумму платежей последний платёж, полностью погашающий долг.