Решение: Рационально-логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{x^2+4x-5}{\log_3(0{,}2\cdot 5^x)}\ge 0$.
Решение по шагам
5 шаговРазложим числитель на множители:
$$x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$$Преобразуем выражение под знаком логарифма:
$$0{,}2\cdot 5^x=\frac{1}{5}\cdot 5^x=5^{x-1}$$Знаменатель не должен быть равен нулю. Найдём соответствующее значение $x$:
$$\log_3(5^{x-1})=0\Longleftrightarrow 5^{x-1}=1\Longleftrightarrow x=1$$Поскольку основание логарифма больше единицы, знак знаменателя совпадает со знаком $x-1$. Числитель равен нулю при $x=-5$ и $x=1$.
$$\frac{(x-1)(x+5)}{\log_3(5^{x-1})}\ge 0$$Рассмотрим знаки на промежутках. На $(-\infty,-5)$ дробь отрицательна, на $[-5,1)$ неотрицательна. Точка $x=1$ исключается, так как знаменатель равен нулю. На $(1,+\infty)$ дробь положительна.
x\in[-5;1)\cup(1;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $x=1$, хотя знаменатель при ней равен нулю.
Ошибочно считают, что логарифм в знаменателе меняет знак в точке $x=-5$.
Забывают включить точку $x=-5$, где числитель равен нулю, а знаменатель определён.