Решение: Логарифмическое неравенство
Решение по шагам
8 шаговОбласть допустимых значений определяется условием положительности аргумента логарифма:
$$x^2-9>0$$Выполним замену $t=\log_2(x^2-9)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$t^2-9t+20\ge 0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$(t-4)(t-5)\ge 0$$Решение квадратного неравенства:
$$t\le 4\quad\text{или}\quad t\ge 5$$Возвращаемся к переменной $x$. Так как основание логарифма $2>1$, функция логарифма возрастает:
$$\log_2(x^2-9)\le 4\Longleftrightarrow 0<x^2-9\le 16$$Из первого условия получаем:
$$9<x^2\le 25\Longleftrightarrow x\in[-5,-3)\cup(3,5]$$Из второго условия получаем:
$$\log_2(x^2-9)\ge 5\Longleftrightarrow x^2-9\ge 32\Longleftrightarrow x^2\ge 41$$Следовательно, $x\le-\sqrt{41}$ или $x\ge\sqrt{41}$. Объединяем все найденные промежутки.
$$x\in(-\infty,-\sqrt{41}]\cup[-5,-3)\cup(3,5]\cup[\sqrt{41},+\infty)$$Ответ: $(-\infty,-\sqrt{41}]\cup[-5,-3)\cup(3,5]\cup[\sqrt{41},+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений $x^2-9>0$.
Забывают, что при основании логарифма $2>1$ знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.
Неверно решают квадратное неравенство и выбирают промежуток между корнями $4$ и $5$.