Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $2\log_2\left(x\sqrt{5}\right)-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\leq\log_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Из условия существования первых двух логарифмов получаем $x>0$ и $\frac{x}{1-x}>0$, откуда $0<x<1$. На этом промежутке третий аргумент также положителен.
$$0<x<1$$Объединим логарифмы в левой части:
$$2\log_2(x\sqrt{5})-\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right)=\log_2\left(\frac{(x\sqrt{5})^2}{x/(1-x)}\right)=\log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)$$Так как основание логарифма $2>1$, сравним аргументы:
$$5x(1-x)\leq 5x^2+\frac1x-2$$Перенесём все слагаемые в левую часть и умножим неравенство на $x>0$:
$$10x^3-5x^2-2x+1\geq0$$Разложим многочлен на множители:
$$10x^3-5x^2-2x+1=2\left(x-\frac12\right)(5x^2-1)=2\left(x-\frac12\right)(\sqrt{5}x-1)(\sqrt{5}x+1)$$С учётом условия $0<x<1$ критические точки равны $\frac1{\sqrt5}$ и $\frac12$. Методом интервалов выбираем промежутки, на которых произведение неотрицательно.
$$x\in\left(0,\frac1{\sqrt5}\right]\cup\left[\frac12,1\right)$$$x\in\left(0,\frac1{\sqrt5}\right]\cup\left[\frac12,1\right)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения на аргументы логарифмов.
Забывать, что при умножении на $x$ знак неравенства сохраняется только потому, что $x>0$.
Неверно учитывать промежуток между корнями $\frac1{\sqrt5}$ и $\frac12$.
Включать точку $x=1$, хотя выражение $\frac{x}{1-x}$ при ней не определено.