Решение: Логарифмическое неравенство с произведением
Решите неравенство $\log_5\bigl((3-x)(x^2+2)\bigr)\geq\log_5(x^2-7x+12)+\log_5(5-x)$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $(3-x)(x^2+2)>0$. Так как $x^2+2>0$ при любом $x$, получаем $x<3$.
$$(3-x)(x^2+2)>0\Rightarrow x<3$$Для второго логарифма требуется $x^2-7x+12>0$, то есть $(x-3)(x-4)>0$. Отсюда $x<3$ или $x>4$. Для третьего логарифма $5-x>0$, то есть $x<5$. Общая область допустимых значений: $x<3$.
$$(x-3)(x-4)>0,\quad 5-x>0\Rightarrow x<3$$Поскольку основание логарифмов больше единицы, объединяем сумму логарифмов и сравниваем аргументы.
$$(3-x)(x^2+2)\geq(x^2-7x+12)(5-x)$$Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. С учётом $x<3$ имеем $x-3=-(3-x)$, поэтому правая часть равна $(3-x)(4-x)(5-x)$.
$$(3-x)(x^2+2)\geq(3-x)(4-x)(5-x)$$Так как при $x<3$ величина $3-x$ положительна, делим обе части на неё и решаем полученное линейное неравенство.
$$x^2+2\geq(4-x)(5-x)=x^2-9x+20\Rightarrow 9x\geq18\Rightarrow x\geq2$$Пересекаем результат с областью допустимых значений $x<3$.
$$x\in[2;3)$$$x\in[2;3)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают положительность всех аргументов логарифмов.
Забывают, что при основании $5>1$ знак неравенства не меняется.
Делят на $3-x$ без указания, что на ОДЗ это положительная величина.
Включают точку $x=3$, хотя при ней аргументы логарифмов не определены.