Решение: Рациональное неравенство с показательной функцией
Решите неравенство $\dfrac{3^x+9}{3^x-9}+\dfrac{3^x-9}{3^x+9}\geq\dfrac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}$.
Решение по шагам
6 шаговОДЗ определяется ненулевыми знаменателями: $3^x\neq 9$, то есть $x\neq 2$. Сделаем замену $t=3^x$, тогда $t>0$ и $t\neq 9$.
$$t=3^x$$Преобразуем левую часть и правую часть неравенства:
$$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}\geq\frac{12t+144}{t^2-81}$$Приведём к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть:
$$\frac{(t+9)^2+(t-9)^2-12t-144}{t^2-81}\geq 0$$Упростим числитель:
$$\frac{2t^2-12t+18}{t^2-81}=\frac{2(t-3)^2}{(t-9)(t+9)}\geq 0$$Так как $t>0$, множитель $t+9$ положителен. Числитель неотрицателен и обращается в ноль при $t=3$. Поэтому подходят $t=3$ и $t>9$.
$$t=3\quad\text{или}\quad t>9$$Возвращаемся к переменной $x$: $3^x=3$ даёт $x=1$, а $3^x>9=3^2$ даёт $x>2$.
$$x=1\quad\text{или}\quad x>2$$$x\in\{1\}\cup(2;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают исключить $x=2$ из ОДЗ.
Ошибочно считают, что точка $t=3$ исключается вместе с $t=9$.
Не учитывают знак знаменателя при решении дробно-рационального неравенства.
Неверно преобразуют $9^x$ в $(3^x)^2$.