16
Решение: Рациональное неравенство со степенью
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 16 · Алгебраические неравенства
ПовышеннаяФИПИ757A1BРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 5 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Определим область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль.
$$3^x-27\ne0,\quad 3^x-9\ne0$$2
Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.
$$\frac{4}{3^x-27}-\frac{1}{3^x-9}=\frac{4(3^x-9)-(3^x-27)}{(3^x-27)(3^x-9)}=\frac{3(3^x-3)}{(3^x-27)(3^x-9)}$$3
Положим $t=3^x$. Так как $3^x>0$, имеем $t>0$. Тогда нужно решить рациональное неравенство.
$$\frac{3(t-3)}{(t-27)(t-9)}\geq0$$4
Критические точки: $t=3$, $t=9$, $t=27$. С учётом условия $t>0$ методом интервалов получаем.
$$t\in[3;9)\cup(27;+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$: функция $3^x$ возрастает.
$$3\leq3^x<9\Rightarrow1\leq x<2;\quad 3^x>27\Rightarrow x>3$$Ответ
x\in[1;2)\cup(3;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $x=2$ и $x=3$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Ошибаются при определении знаков на промежутках.
Забывают, что $3^x>0$.