Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_7(2x^2+12)-\log_7(x^2-x+12)\geq\log_7\left(2-\dfrac{1}{x}\right)$.
Решение по шагам
4 шагаНайдём область допустимых значений. Выражения $2x^2+12$ и $x^2-x+12$ положительны при всех $x$, так как их дискриминанты отрицательны. Для третьего логарифма требуется $2-\dfrac{1}{x}>0$.
$$2-\dfrac{1}{x}>0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$$Так как основание логарифмов $7>1$, преобразуем неравенство, объединив разность логарифмов.
$$\dfrac{2x^2+12}{x^2-x+12}\geq 2-\dfrac{1}{x}$$Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю. Квадратичный трёхчлен $x^2-x+12$ всегда положителен.
$$\dfrac{2x^2+12}{x^2-x+12}-\dfrac{2x-1}{x}=\dfrac{3x^2-13x+12}{x(x^2-x+12)}=\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x(x^2-x+12)}\geq0$$С учётом положительности $x^2-x+12$ решаем неравенство $\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x}\geq0$ на ОДЗ. Подходящие промежутки: $(1,\frac43]$ и $[3,+\infty)$.
x\in\left(1;\dfrac{4}{3}\right]\cup[3;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают условие $2-\dfrac{1}{x}>0$ и включают значения из промежутка $(-\infty,0)$.
Меняют знак неравенства при переходе к сравнению аргументов, хотя основание $7>1$.
Включают точку $x=1$, несмотря на то что при ней выражение $2-\dfrac{1}{x}$ равно нулю.