Решение: Рациональное неравенство с показательной функцией
Решение по шагам
5 шаговВведём замену $t=3^x$. Так как $3^x>0$, имеем $t>0$. Знаменатели исходного неравенства не должны обращаться в нуль, поэтому $t\neq9$ и $t\neq81$.
$$t=3^x>0,\quad t\ne9,\quad t\ne81$$Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.
$$\frac{13}{t-81}-\frac{1}{t-9}\leq0$$Упростим числитель полученной дроби.
$$\frac{13(t-9)-(t-81)}{(t-81)(t-9)}=\frac{12t-36}{(t-81)(t-9)}=\frac{12(t-3)}{(t-81)(t-9)}\leq0$$Критические точки: $t=3$, $t=9$ и $t=81$. С учётом условия $t>0$ методом интервалов получаем.
$$t\in(0;3]\cup(9;81)$$Возвращаемся к переменной $x$. Функция $3^x$ возрастает, поэтому неравенства для $t$ преобразуются следующим образом.
$$0<3^x\leq3\Longleftrightarrow x\leq1;\qquad 9<3^x<81\Longleftrightarrow2<x<4$$x\in(-\infty;1]\cup(2;4)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $t=9$ и $t=81$, при которых исходная дробь не определена.
Забывают условие $t>0$ после замены $t=3^x$.
Включают точки $x=2$ или $x=4$, хотя при них один из знаменателей равен нулю.
Неверно определяют знаки дроби на промежутках.