Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $1+\dfrac{5}{\log_4 x-3}+\dfrac{6}{\log_4^2 x-\log_4(64x^6)+12}\ge 0$.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения исходного неравенства: $x>0$, а также знаменатели не должны обращаться в ноль. Введём замену $t=\log_4 x$.
$$x>0,\quad t\ne 3$$Преобразуем логарифм в знаменателе второй дроби:
$$\log_4(64x^6)=\log_4 64+\log_4 x^6=3+6t$$Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$1+\frac{5}{t-3}+\frac{6}{t^2-(3+6t)+12}\ge 0$$Упростим знаменатель и приведём выражение к общей дроби:
$$1+\frac{5}{t-3}+\frac{6}{(t-3)^2}=\frac{(t-3)^2+5(t-3)+6}{(t-3)^2}=\frac{(t-1)(t+2)}{(t-3)^2}$$Так как $(t-3)^2>0$ при $t\ne 3$, знак дроби определяется числителем. Получаем:
$$(t-1)(t+2)\ge 0,\quad t\ne 3$$Решение неравенства относительно $t$: $t\le -2$ или $t\ge 1$, при этом точка $t=3$ исключается.
$$t\in(-\infty,-2]\cup[1,3)\cup(3,+\infty)$$Поскольку функция $4^t$ возрастает, возвращаемся к переменной $x$: $t=-2$ соответствует $x=4^{-2}=\frac1{16}$, $t=1$ — $x=4$, а $t=3$ — $x=64$.
$$x\in\left(0,\frac1{16}\right]\cup[4,64)\cup(64,+\infty)$$Ответ: $x\in\left(0,\frac1{16}\right]\cup[4,64)\cup(64,+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значение $t=3$, при котором знаменатели обращаются в ноль.
Ошибочно считают, что знаменатель $(t-3)^2$ может менять знак.
Неверно преобразуют $\log_4(64x^6)$ и получают $3+t$ вместо $3+6t$.