Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(32x)}{\log_2 x-5}+\dfrac{\log_2 x-5}{\log_2(32x)}\geq\dfrac{\log_2(x^{16})+18}{\log_2(x^2)-25}$.
Решение по шагам
6 шаговОбласть допустимых значений определяется условиями существования логарифмов и ненулевых знаменателей:
$$x>0,\quad \log_2x\ne5,\quad \log_2(32x)\ne0,\quad \log_2(x^2)-25\ne0$$Введём замену $t=\log_2x$. Тогда $\log_2(32x)=t+5$, $\log_2(x^{16})=16t$, а $\log_2(x^2)=2t$.
$$\frac{t+5}{t-5}+\frac{t-5}{t+5}\geq\frac{16t+18}{2t-25},\quad t\ne-5,5,\frac{25}{2}$$Приведём левую часть к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть:
$$\frac{2(t^2+25)}{t^2-25}-\frac{16t+18}{2t-25}\geq0$$После приведения к общему знаменателю получаем:
$$\frac{-4(3t^3+17t^2-125t+200)}{(t-5)(t+5)(2t-25)}\geq0$$Уравнение $3t^3+17t^2-125t+200=0$ имеет единственный действительный корень $\alpha\approx-10{,}323$. Методом интервалов с учётом точек $\alpha$, $-5$, $5$, $\frac{25}{2}$ получаем:
$$t\in[\alpha,-5)\cup\left(5,\frac{25}{2}\right)$$Возвращаемся к переменной $x$, поскольку $x=2^t$ и функция $2^t$ возрастает:
$$x\in[2^\alpha,2^{-5})\cup\left(2^5,2^{25/2}\right)$$Пусть $\alpha$ — единственный действительный корень уравнения $3t^3+17t^2-125t+200=0$ ($\alpha\approx-10{,}323$). Тогда $x\in[2^\alpha,\frac{1}{32})\cup(32,2^{25/2})$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения на знаменатели.
Ошибочно считать $\log_2(32x)$ равным $5x$ вместо $5+\log_2x$.
Включать точки $x=\frac{1}{32}$, $x=32$ или $x=2^{25/2}$, где исходное выражение не определено.
Терять корень числителя при переходе к методу интервалов.