Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{5}\left(\dfrac{2}{x}+2\right)-\log_{5}(x+3)\leq\log_{5}\left(\dfrac{x+6}{x^2}\right)$.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область допустимых значений. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:
$$\dfrac{2}{x}+2>0,\quad x+3>0,\quad \dfrac{x+6}{x^2}>0$$Из этих условий получаем:
$$x\in(-3,-1)\cup(0,+\infty)$$Поскольку основание логарифма $5>1$, применяем свойства логарифмов и переносим всё в одну часть:
$$\log_5\left(\dfrac{\frac{2}{x}+2}{x+3}\cdot\dfrac{x^2}{x+6}\right)\leq 0$$Аргумент логарифма положителен на ОДЗ, поэтому неравенство равносильно условию, что этот аргумент не превосходит единицы:
$$\dfrac{2(x+1)}{x(x+3)}\leq\dfrac{x+6}{x^2}$$Перенесём правую часть в левую и приведём к общему знаменателю:
$$\dfrac{2x(x+1)-(x+6)(x+3)}{x^2(x+3)}\leq0$$Разложим числитель на множители:
$$\dfrac{x^2-7x-18}{x^2(x+3)}=\dfrac{(x-9)(x+2)}{x^2(x+3)}\leq0$$С учётом ОДЗ знаки выражения меняются в точках $x=-2$ и $x=9$. Получаем $x\in[-2,9]$, после пересечения с ОДЗ:
$$x\in[-2,-1)\cup(0,9]$$$[-2,-1)\cup(0,9]$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область допустимых значений логарифмов.
Включать точки $x=-1$ или $x=0$, при которых исходное выражение не определено.
Забывать, что при основании $5>1$ знак неравенства при сравнении аргументов сохраняется.