Решение: Рационально-логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{25x^2-120x+144}{\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})}\le 0$.
Решение по шагам
8 шаговНайдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным:
$$4^x-8>0\Longrightarrow 4^x>8\Longrightarrow x>\frac{3}{2}$$Аргумент второго логарифма положителен при любом действительном $x$, так как $2^{x+1}>0$. Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.
$$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})\ne0$$Преобразуем знаменатель:
$$\log_2\frac{4^x-8}{2^{x+1}}=\log_2\left(2^{x-1}-2^{2-x}\right)$$Знаменатель равен нулю, когда его аргумент равен единице:
$$\frac{4^x-8}{2^{x+1}}=1\Longrightarrow 4^x-8=2^{x+1}\Longrightarrow 2^{2x}-2^{x+1}-8=0$$Положим $t=2^x>0$. Тогда $t^2-2t-8=0$, откуда $t=4$ и $x=2$. С учётом условия $x>\frac{3}{2}$ область допустимых значений: $x>\frac{3}{2}$, $x\ne2$.
$$t^2-2t-8=(t-4)(t+2)=0$$Разложим числитель на множители:
$$25x^2-120x+144=(5x-12)^2$$При $\frac{3}{2}<x<2$ аргумент логарифма в знаменателе меньше единицы, поэтому знаменатель отрицателен. При $x>2$ он положителен. Числитель неотрицателен и равен нулю только при $x=\frac{12}{5}$.
$$(5x-12)^2\ge0$$Точка $x=\frac{12}{5}$ лежит в области $x>2$, где знаменатель положителен, поэтому значение дроби равно нулю и удовлетворяет неравенству. На интервале $\frac{3}{2}<x<2$ дробь отрицательна, а при $x>2$, кроме точки $\frac{12}{5}$, положительна.
$$\frac{(5x-12)^2}{\log_2\left(\frac{4^x-8}{2^{x+1}}\right)}\le0$$$\left(\frac{3}{2},2\right)\cup\left\{\frac{12}{5}\right\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают условие положительности аргумента $4^x-8$.
Забывают исключить значение $x=2$, при котором знаменатель равен нулю.
Считают, что квадрат $(5x-12)^2$ может быть отрицательным.
Не исследуют знак знаменателя после объединения логарифмов.