Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin(x-\pi)$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]$.
- 1
Используем формулы $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ и $\sin(x-\pi)=-\sin x$.$$2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и введём обозначение $t=\sin x$.$$2t^2+(\sqrt{3}-2)t-\sqrt{3}=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2 - 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\cos x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\cos x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулы приведения и двойного угла:$$\cos(\pi-2x)=-\cos 2x,\quad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и приведём подобные слагаемые:$$2+2\cos 2x+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\cos^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x+2\cos x+\sqrt{3}=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Сделаем замену $t=\cos x$. Тогда уравнение принимает вид:$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители:$$2t^3+\sqrt{3}t^2+2t+\sqrt{3}=t^2(2t+\sqrt{3})+(2t+\sqrt{3})=(2t+\sqrt{3})(t^2+1)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} - 2\sin(x + \pi)$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы: $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Поэтому исходное уравнение принимает вид$$1 - \cos 2x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} + 2\sin x$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:$$1 - \cos 2x - (2 - \sqrt{2})\sin x - \sqrt{2} = 0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулу приведения для синуса суммы и формулу двойного угла:$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Текст задания содержит указание решить уравнение и указать его корни, принадлежащие заданному отрезку, однако само уравнение и границы отрезка в исходных данных отсутствуют.
- 1
В предоставленном изображении указаны только требования решить уравнение и выбрать корни на отрезке.
- 2
Формула уравнения и границы отрезка отсутствуют, поэтому общее решение и искомые корни определить нельзя.
Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[7\pi;\frac{17\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы и синус разности:$$2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$
- 2
Подставляем значения $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ и упрощаем:$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $4\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sqrt{6}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…
- 1
Преобразуем первое слагаемое по формуле косинуса разности.$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Преобразуем синус второго аргумента по формуле приведения.$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы и учтём значения синуса и косинуса угла $\dfrac{\pi}{4}$.$$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$
- 2
Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим $\cos x$.$$2\sin^2 x+\sin x+\cos x=\cos x\quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2 x+\sin x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Применим формулы приведения:$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x$$
- 2
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\sin 2x + 2\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{15\pi}{2}; -6\pi\right]$.
- 1
Раскроем косинус разности:$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{2}}$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение:$$\sin 2x+2\sin x+2\cos x+1=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin(\pi+x)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем второй синус:$$\sin(\pi+x)=-\sin x$$
- 2
После деления уравнения на $2$ получаем:$$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$
- 2
Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Применим формулы чётности и нечётности тригонометрических функций: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$.$$\sin 2x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$$
- 2
Используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и разложим выражение на множители.$$2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
- 1
В предоставленном изображении формула уравнения и границы отрезка отсутствуют: видны только пункты задания и пустое поле.
- 2
Поэтому общее Шешім уравнения и корни на отрезке определить нельзя.
Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi)=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем косинус суммы и синус двойного угла:$$\cos(x+\pi)=-\cos x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и вынесем общий множитель:$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $2\sin x + 2\sqrt{3}\sin(-x) - 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Так как $\sin(-x)=-\sin x$, исходное уравнение принимает вид:$$2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^2x=\sqrt{3}-4$$
- 2
Выразим квадрат косинуса через синус: $\cos^2x=1-\sin^2x$.$$2(1-\sqrt{3})\sin x-4(1-\sin^2x)=\sqrt{3}-4$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $\dfrac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$. Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{13\pi}{2};-5\pi\right]$.
- 1
Знаменатель должен быть определён и не равен нулю. Поэтому $7\sin x>0$, то есть $\sin x>0$.$$\sin x>0$$
- 2
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:$$4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos^2 x} = 29$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.
- 1
Положим $t = 4^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, имеем $1 \leq t \leq 4$.$$16^{\sin^2 x}=t^2$$
- 2
Используем тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и выразим вторую показательную функцию.$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
а) Решите уравнение $\dfrac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.
- 1
Запишем область допустимых значений. Для существования логарифма необходимо $\sin x>0$, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:$$\sin x>0,\qquad 2\cos x-\sqrt{3}\ne0$$
- 2
Так как дробь равна нулю, её числитель должен быть равен нулю:$$\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде