Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Запишем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причём $b>a$, а высота равна $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=16$$

Рассмотрим отрезок длиной $14$, соединяющий середины оснований. Его горизонтальная составляющая равна $\frac{h\operatorname{ctg}43^\circ}{2}$, а вертикальная составляющая равна $h$.$$14^2=h^2+\left(\frac{h\operatorname{ctg}43^\circ}{2}\right)^2$$

Расположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $H=(x;y)$.

Так как окружность имеет диаметр $BH$, для любой её точки $X=(X;Y)$ выполняется условие перпендикулярности $\overrightarrow{XB}$ и $\overrightarrow{XH}$:$$X^2+Y^2-xX-yY=0$$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $32$. Обозначим половину второй диагонали через $x$, а сторону ромба через $a$.$$a^2=32^2+x^2$$

Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон ромба, поэтому расстояние до стороны является радиусом вписанной окружности. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.$$S=\frac{64\cdot 2x}{2}=64x$$

По теореме о катете квадрат катета $AB$ равен произведению гипотенузы $AC$ на проекцию катета $AB$ на гипотенузу, то есть на отрезок $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 24 \cdot 6 = 144$$

В трапеции основания параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей этих параллельных прямых.$$BC \parallel AD$$

Следовательно, углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$

Так как $BC \parallel AD$, а $BD$ является секущей, то углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие углы.$$\angle CBD = \angle BDA$$

Вычислим отношения соответствующих сторон, прилежащих к равным углам.$$\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$

Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Тогда $a+b=2c$.

Из условия о периметре получаем $a+b+2c=20$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем $2(a+b)=20$, поэтому $a+b=10$ и $c=5$.

Обозначим катеты через $a = 21$ и $b = 28$, гипотенузу через $c$, а высоту к гипотенузе через $h$.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$$

Найдём длину стороны $BC$ по условию:$$BC = BK + KC = 5 + 14 = 19$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 19$.

В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Диагональ $BD$ является секущей этих прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$

Рассмотрим стороны, заключённые между равными углами в треугольниках $CBD$ и $BDA$. По условию $BC = 5$, $BD = 10$, $AD = 20$.$$\frac{BC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$$

Так как $BH$ — диаметр окружности, то углы $BPH$ и $BKH$, опирающиеся на этот диаметр, прямые:$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$

Точки $P$ и $B$ лежат на стороне $AB$, а точки $K$ и $B$ — на стороне $CB$. Поэтому $BP \perp PH$ и $BK \perp KH$.

Рассмотрим треугольники $MAB$ и $MCD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальный. Кроме того, углы $MAB$ и $MCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $MAB$ и $MCD$ подобны. Соответствующие стороны пропорциональны:$$\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{14}{42} = \dfrac{1}{3}$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону через $l$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2l$$

Из условия о периметре получаем:$$a+b+2l=100$$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$. Следовательно, треугольники подобны.$$🔺AMB \sim 🔺CMD$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$m=\frac{a+b}{2}$$

Пусть $D=a-b$. Горизонтальная проекция высоты на каждом из краёв трапеции равна соответственно $h\cot50^\circ$ и $h\cot40^\circ$. Поэтому$$D=h(\cot50^\circ+\cot40^\circ)=\frac{2h}{\sin80^\circ}$$

Найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 21 + 8 = 29$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 29$. Так как $AH$ — высота, то $AH \perp CD$, и треугольник $ADH$ прямоугольный.

По условию $CF : DF = 7 : 2$, поэтому весь отрезок $CD$ состоит из $9$ равных частей, а $CF$ — из $7$ таких частей:$$\frac{CF}{CD} = \frac{7}{7+2} = \frac{7}{9}$$

Поскольку $EF \parallel AD \parallel BC$, длина параллельного основаниям отрезка изменяется пропорционально расстоянию от основания $BC$ к основанию $AD$. Разность длин оснований равна:$$AD - BC = 36 - 18 = 18$$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Они подобны по двум углам: углы при $M$ вертикальные, а углы при вершинах $A$ и $C$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{14}{56}=\frac14$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:$$a+b=2c$$

Из условия о периметре получаем $2c+a+b=220$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем:$$4c=220,\quad c=55,\quad a+b=110$$