Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
6 шаговДиагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $32$. Обозначим половину второй диагонали через $x$, а сторону ромба через $a$.
$$a^2=32^2+x^2$$Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон ромба, поэтому расстояние до стороны является радиусом вписанной окружности. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
$$S=\frac{64\cdot 2x}{2}=64x$$Площадь ромба также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Так как полупериметр равен $2a$, получаем:
$$64x=2a\cdot16,\qquad a=2x$$Подставим выражение для стороны в теорему Пифагора:
$$4x^2=32^2+x^2,\qquad 3x^2=1024,\qquad x=\frac{32}{\sqrt{3}}$$В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, отношение меньшей половины диагонали к большей равно тангенсу половины острого угла ромба:
$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{32}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$Следовательно, $\frac{\alpha}{2}=30^\circ$, поэтому острый угол ромба равен $60^\circ$, а соседний с ним угол — $120^\circ$.
$$\alpha=60^\circ,\qquad \beta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$$Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны половиной диагонали.
Забыть, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
Использовать площадь ромба как произведение диагоналей без деления на 2.
Указать только один угол, не найдя второй угол ромба.