Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
7 шаговРасстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты ромба, поэтому высота равна $2 \cdot 13 = 26$.
Пусть половина второй диагонали равна $x$. Одна из диагоналей равна $52$, поэтому её половина равна $26$. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, сторона ромба равна $\sqrt{26^2+x^2}$.
Площадь ромба найдём двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.
$$S = \frac{52 \cdot 2x}{2} = 52x, \qquad S = 26\sqrt{26^2+x^2}$$Приравниваем выражения для площади и находим $x$.
$$52x = 26\sqrt{26^2+x^2} \Rightarrow 2x = \sqrt{676+x^2} \Rightarrow 3x^2=676 \Rightarrow x=\frac{26}{\sqrt{3}}$$Находим сторону ромба.
$$a=\sqrt{26^2+\left(\frac{26}{\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{52}{\sqrt{3}}$$Для острого угла ромба используем отношение высоты к стороне.
$$\sin \alpha = \frac{26}{52/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$Следовательно, острый угол равен $60^\circ$, а соседний с ним угол ромба равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны высотой ромба, а не половиной высоты.
Забыть, что диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
Указать только один угол ромба и не найти второй, смежный с ним.