Решение: Расстояние до основания трапеции
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
6 шаговДля четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Тогда $a+b=2c$.
Из условия о периметре получаем $a+b+2c=20$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем $2(a+b)=20$, поэтому $a+b=10$ и $c=5$.
Площадь трапеции равна $S=\dfrac{a+b}{2}h$. Следовательно, $20=\dfrac{10}{2}h$, откуда высота $h=4$.
Опустим высоты из концов меньшего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике горизонтальный катет равен половине разности оснований. Поэтому $\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=5^2-4^2=9$, то есть $\dfrac{a-b}{2}=3$. Вместе с $a+b=10$ получаем основания $a=8$ и $b=2$.
Точка пересечения диагоналей трапеции делит высоту так, что расстояния от неё до оснований пропорциональны длинам оснований. Расстояние до меньшего основания равно $\dfrac{hb}{a+b}$.
Подставляем найденные значения: $d=\dfrac{4\cdot 2}{8+2}=\dfrac{4}{5}$.
$\dfrac{4}{5}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют неверное условие для трапеции, в которую можно вписать окружность.
Путают высоту трапеции с боковой стороной.
Неправильно определяют, какое из оснований является меньшим.
Берут расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания вместо меньшего.