Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $A$ и $B$, прилежащие к боковой стороне $AB$, являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

В треугольнике $AFB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ трапеции. Следовательно, их сумма равна $90^\circ$, а угол $AFB$ также равен $90^\circ$.$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Поэтому$$a+b=2c$$

Из условия о периметре получаем$$a+b+2c=200$$

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекция равна $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 40 \cdot 10 = 400$$

Из отношения $CF : DF = 4 : 3$ получаем $CD = CF + DF$, поэтому $CF : CD = 4 : 7$.$$CD = 7k,\quad CF = 4k,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{4}{7}$$

Прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции. Поэтому длина параллельного сечения изменяется от $BC$ до $AD$ пропорционально расстоянию вдоль боковой стороны $CD$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$

В трапеции основания параллельны, поэтому сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

Поскольку $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$$

Из отношения $CF : DF = 2 : 1$ следует, что $CD$ разделена точкой $F$ на три равные части, причём $CF$ составляет две трети всей боковой стороны.$$CD = CF + DF,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$

Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции, изменяется от длины меньшего основания $BC$ до длины большего основания $AD$ пропорционально расстоянию от основания $BC$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив ось $Ox$ вдоль $BA$, а ось $Oy$ вдоль $BC$. Пусть $H=(x_H,y_H)$.

Точка $X$ принадлежит окружности с диаметром $BH$ тогда и только тогда, когда угол $BXH$ прямой. В координатах это означает, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BX}$ и $\overrightarrow{HX}$ равно нулю.$$x(x-x_H)+y(y-y_H)=0$$

Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 16^2 = 34^2$$

Найдём второй катет:$$b^2 = 34^2 - 16^2 = 1156 - 256 = 900,\quad b = 30$$

Из отношения $CF:DF=7:3$ следует, что $CD=10$ частей, а $CF$ составляет $\frac{7}{10}$ боковой стороны $CD$.

Поскольку $EF\parallel AD\parallel BC$, длина параллельного основаниям сечения изменяется пропорционально расстоянию от одного основания до другого. От основания $BC$ до основания $AD$ разность длин равна $AD-BC=50-30=20$.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25$$

Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с проведённой к ней высотой:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=11$$

Из первого равенства получаем сумму оснований.$$a+b=22$$

Так как $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.

По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-61^\circ-89^\circ=30^\circ$$

По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ равноудалены от точки $M$, поэтому они лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD = 2R$$

Угол $ACD$ прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD$.$$\angle ACD = 90^\circ$$

Так как основания трапеции параллельны, высота трапеции одинакова для обеих боковых сторон. Угол между боковой стороной $CD$ и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.$$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

Выразим высоту трапеции через боковые стороны $AB$ и $CD$.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 45^\circ$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия следует отношение сходственных сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$$

Основания трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой $AK$ и стороной $AD$ равен углу между $AK$ и $BC$.

Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, углы $BAK$ и $KAD$ равны. С учётом параллельности $AD$ и $BC$ получаем равенство углов $BAK$ и $AKB$.