Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Расположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $BA=a$, $BC=c$. Тогда точка $H$ имеет координаты$$H\left(\dfrac{ac^2}{a^2+c^2},\dfrac{a^2c}{a^2+c^2}\right)$$

Уравнение окружности с диаметром $BH$, проходящей через начало координат, имеет вид$$x^2+y^2-x_Hx-y_Hy=0$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции и равен $6$.$$6=\dfrac{a+b}{2}$$

Пусть высота трапеции равна $h$. Горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot 53^\circ$ и $h\cot 37^\circ$. Поэтому разность оснований равна сумме этих проекций:$$a-b=h\left(\cot 53^\circ+\cot 37^\circ\right)$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а её высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции, поэтому его длина равна полусумме оснований.$$m=\frac{a+b}{2}$$

Средняя линия имеет длину $4$, так как длина $1$ не может быть полусуммой оснований при данных углах и положительной высоте. Следовательно, $a+b=8$.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD \text{ — диаметр}$$

Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ABD = 90^\circ$. В треугольнике $BCD$ угол при вершине $B$ равен разности угла $ABC$ и угла $ABD$.$$\angle CBD = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ$$

Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b=\sqrt{125^2-35^2}=\sqrt{15625-1225}=\sqrt{14400}=120$$

Вычислим площадь треугольника через катеты:$$S=\frac{1}{2}\cdot35\cdot120=2100$$

В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$

Сравним стороны, заключающие найденные равные углы:$$\frac{BC}{BD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{DA} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$

Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$$

Вычислим длину стороны $BC$.$$BC = BK + CK = 12 + 16 = 28$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 28$.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.

Так как $EF \parallel AD \parallel BC$, длина параллельного основаниям отрезка изменяется линейно от $BC$ до $AD$.

Из отношения $CF:FD=5:2$ получаем $CD=7$ условных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{5}{7}$.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Поскольку $M$ лежит на $AD$ и является его серединой, $AD$ — диаметр этой окружности.$$AD = 2R$$

Вписанный угол $C = 131^\circ$ опирается на дугу $BAD$, содержащую диаметр $AD$, поэтому дуга $AB$ равна$$\overset{\frown}{AB} = 2\cdot 131^\circ - 180^\circ = 82^\circ$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный, а $BH$ — высота к гипотенузе $AC$. Треугольники $ABC$ и $ABH$ подобны по двум углам: угол $A$ у них общий, а углы $ABC$ и $AHB$ равны $90^\circ$.$$\triangle ABC \sim \triangle ABH$$

Из подобия треугольников получаем теорему о катете: квадрат катета $AB$ равен произведению гипотенузы $AC$ на проекцию этого катета $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому$$\frac{a+b}{2}=14,\qquad a+b=28$$

Пусть основания расположены горизонтально. Из прямоугольных треугольников у боковых сторон горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot 7^\circ$ и $h\tan 7^\circ$. Поэтому$$a-b=h(\cot 7^\circ+\tan 7^\circ)$$

Так как $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 12 + 1 = 13$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 13$. Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, значит треугольник $ADH$ прямоугольный.

Опустим из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры на основание $BC$. Получившиеся отрезки являются высотами трапеции, поэтому высота равна вертикальной составляющей стороны $CD$.$$h = CD \cdot \sin 150^\circ$$

Вычислим высоту трапеции.$$h = 33 \cdot \sin 150^\circ = 33 \cdot \frac{1}{2} = \frac{33}{2}$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC$. Найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 7 + 12 = 19$$

Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, её направление образует равные углы со сторонами $AB$ и $AD$. При пересечении с параллельной стороне $BC$ это даёт соотношение:$$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AD}$$

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты ромба, поэтому высота равна $2 \cdot 13 = 26$.

Пусть половина второй диагонали равна $x$. Одна из диагоналей равна $52$, поэтому её половина равна $26$. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, сторона ромба равна $\sqrt{26^2+x^2}$.

Так как $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.

Диагональ $BD$ является секущей параллельных прямых $BC$ и $AD$, поэтому углы, лежащие между сторонами $BC$, $BD$ и $BD$, $DA$, равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ являются общими, а соответствующие углы треугольников $BMN$ и $BAC$ равны. Следовательно, эти треугольники подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников получаем пропорцию соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{22}{55} = \frac{2}{5}$$

По теореме о катете квадрат катета $AB$ равен произведению гипотенузы $AC$ на проекцию катета $AB$ на гипотенузу, то есть на отрезок $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 45 \cdot 5 = 225$$