Решение: Длина стороны четырёхугольника
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 12$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $115^\circ$ и $95^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точка $M$ равноудалена от всех вершин, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
$$AD \text{ — диаметр}$$Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ABD = 90^\circ$. В треугольнике $BCD$ угол при вершине $B$ равен разности угла $ABC$ и угла $ABD$.
$$\angle CBD = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ$$Найдём третий угол треугольника $BCD$.
$$\angle BDC = 180^\circ - 25^\circ - 95^\circ = 60^\circ$$По теореме синусов в треугольнике $BCD$ найдём диагональ $BD$.
$$\frac{BD}{\sin 95^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ},\quad BD = \frac{12\sin 95^\circ}{\sin 60^\circ}$$Так как четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, $\angle DAB = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABD$.
$$\sin 85^\circ = \frac{BD}{AD},\quad AD = \frac{BD}{\sin 85^\circ}$$Подставим найденное значение $BD$ и учтём, что $\sin 95^\circ = \sin 85^\circ$.
$$AD = \frac{12\sin 95^\circ}{\sin 60^\circ\sin 85^\circ} = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = 8\sqrt{3}$$$8\sqrt{3}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновать, что точка $M$ является центром описанной окружности.
Неверно определить угол $CBD$, забыв вычесть прямой угол $ABD$ из угла $ABC$.
Использовать теорему синусов без указания соответствующих противоположных углов.
Ошибочно считать угол $DAB$ равным $95^\circ$ вместо $85^\circ$.