Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Поэтому его длина равна полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=15$$

Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=30$$

Так как $AD\parallel BC$, расстояние между основаниями является общей высотой трапеции. Обозначим её через $h$.

В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой и основанием, имеем $h=AB\sin 45^\circ$.

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $76$, поэтому её половина равна $38$. Половину второй диагонали обозначим через $x$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба равна $a=\sqrt{38^2+x^2}$.

Найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 9 + 15 = 24$$

Так как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку $AD \parallel BC$, получаем $\angle AKB = \angle KAD$. Следовательно, $\angle BAK = \angle AKB$, поэтому треугольник $ABK$ равнобедренный.$$AB = BK = 9$$

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $56$, тогда половина этой диагонали равна $28$. Вторую диагональ обозначим через $2x$, поэтому её половина равна $x$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $28$ и $x$:$$a=\sqrt{28^2+x^2}=\sqrt{784+x^2}$$

Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, длина стороны $BC$ равна сумме отрезков $BK$ и $CK$.$$BC = BK + CK = 3 + 19 = 22$$

Биссектриса угла $A$ параллелограмма пересекает сторону $BC$. Из равенства углов, образованных биссектрисой и параллельными сторонами, следует равенство треугольника с равными углами, поэтому $AB = BK$.$$AB = BK = 3$$

Так как $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.

Прямая $BD$ пересекает параллельные прямые $BC$ и $AD$, поэтому углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$

Пусть $h$ — высота трапеции. Так как основания трапеции параллельны, высота одинакова для обеих боковых сторон.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 135^\circ$$

Подставим известное значение боковой стороны $CD$ и значения синусов.$$AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=24\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 15 + 2 = 17$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 17$. Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, значит треугольник $ADH$ прямоугольный.

Так как $BH$ — высота к гипотенузе прямоугольного треугольника $ABC$, справедлива теорема о катете:$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения:$$AB^2 = 27 \cdot 3 = 81$$

Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ общие, а соответствующие углы при пересечении параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$$

Так как $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 12 + 3 = 15$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = CD = 15$.

Найдём угол $A$ треугольника:$$A = 180° - B - C = 180° - 62° - 88° = 30°$$

По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив оси вдоль перпендикулярных сторон $BA$ и $BC$. Пусть координаты точки $H$ имеют вид $(x,y)$.$$BH^2=x^2+y^2$$

Окружность с диаметром $BH$ пересекает ось $BA$ в точке $P$, а ось $BC$ — в точке $K$. Поэтому координаты этих точек можно записать как $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$.$$PK^2=(x-0)^2+(0-y)^2=x^2+y^2$$

Сторона ромба равна стороне $CD$, которая состоит из двух данных отрезков:$$CD = DH + CH = 24 + 1 = 25$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 25$. Треугольник $ADH$ прямоугольный, так как $AH$ — высота ромба.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle ABM = \angle CDM$$

Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$

Поскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $AM = \dfrac{AD}{2}$. По условию $AD = 2AB$, поэтому $AM = AB$.$$AM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{2AB}{2} = AB$$

Треугольник $ABM$ равнобедренный, так как в нём равны стороны $AB$ и $AM$. Поэтому углы при основании равны.$$\angle ABM = \angle BMA$$

Так как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = \dfrac{BC}{2}$.

По условию $BC = 2AB$, поэтому $BK = \dfrac{2AB}{2} = AB$.

Обозначим через $h_1$ расстояние от точки $F$ до прямой $BC$, а через $h_2$ — расстояние от точки $F$ до прямой $AD$.

Площади треугольников, взятых с основаниями $BC$ и $AD$, равны:$$S_{BFC}=\frac12 BC\cdot h_1,\qquad S_{AFD}=\frac12 AD\cdot h_2$$

Обозначим $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DC}=\vec b$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $DC=AB$. По условию $AB=2AD$, следовательно, $|\vec b|=2|\vec a|$.$$|\vec b|=2|\vec a|$$

Так как $L$ — середина стороны $AB$, а $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b$, имеем $\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$.$$\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$$