Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $56$, тогда половина этой диагонали равна $28$. Вторую диагональ обозначим через $2x$, поэтому её половина равна $x$.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $28$ и $x$:
$$a=\sqrt{28^2+x^2}=\sqrt{784+x^2}$$Площадь ромба через диагонали равна:
$$S=\frac{56\cdot 2x}{2}=56x$$С другой стороны, площадь равна произведению стороны на высоту. Расстояние от точки $O$ до стороны равно 14, а из-за симметрии ромба это расстояние является половиной высоты, поэтому высота равна $28$. Следовательно:
$$S=a\cdot 28=28\sqrt{784+x^2}$$Приравниваем два выражения для площади:
$$56x=28\sqrt{784+x^2}$$После деления на 28 и возведения в квадрат получаем:
$$2x=\sqrt{784+x^2},\quad 4x^2=784+x^2,\quad 3x^2=784$$В действительности расстояние от центра ромба до стороны равно половине высоты только для ромба с соответствующей симметрией относительно центра; корректнее использовать расстояние от центра до стороны напрямую. Для стороны, соединяющей концы полу диагоналей, расстояние от центра до неё равно:
$$14=\frac{28x}{\sqrt{784+x^2}}$$Решаем это уравнение:
$$14\sqrt{784+x^2}=28x,\quad \sqrt{784+x^2}=2x,\quad 784+x^2=4x^2,\quad x^2=\frac{784}{3}$$Тогда отношение полу диагоналей равно $28:x=\sqrt{3}$. Для угла ромба $\alpha$ справедливо $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{28}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $\frac{\alpha}{2}=30^\circ$ и $\alpha=60^\circ$.
Соседние углы ромба supplementary, поэтому второй угол равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равным высоте ромба.
Забыть, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Указать только один угол вместо двух различных углов ромба.