Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 34$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $CD$, высотой и основанием, угол между стороной $CD$ и основанием имеет величину $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.$$h = CD \cdot \sin 60^\circ$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 12$, $DC = 48$, $AC = 35$.
- 1
Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, поэтому они равны. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle ABM = \angle CDM$$
- 2
Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 45$, $BC = 20$, $CF : DF = 4 : 1$.
- 1
Из условия $CF : DF = 4 : 1$, поэтому $CD$ состоит из пяти равных частей, а $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{4}{5}$.
- 2
Так как $EF \parallel AD \parallel BC$, длина параллельного основаниям отрезка изменяется линейно от $BC$ до $AD$. При продвижении от $BC$ к $AD$ на долю $\dfrac{4}{5}$ длина увеличивается на соответствующую долю разности оснований.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим вторую диагональ ромба через $d$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба равна$$a=\sqrt{30^2+\left(\frac d2\right)^2}=\frac12\sqrt{3600+d^2}$$
- 2
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, а расстояние от центра ромба до стороны является радиусом вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p=2a$ — полупериметр.$$15=\frac{30d}{\sqrt{3600+d^2}}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 8$ и $CH = 2$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 8 + 2 = 10$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 10$. Поскольку $AH$ — высота ромба, треугольник $ADH$ прямоугольный.
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Так как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ прямые. Следовательно, $PH \perp AB$ и $KH \perp CB$.
- 2
Поскольку $AB \perp CB$, отрезки $PH$ и $KH$ параллельны соответственно $CB$ и $AB$. Поэтому четырёхугольник $BPHK$ является прямоугольником.
Ещё 2 шага — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $63^\circ$ и $87^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $11$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-63^\circ-87^\circ=30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 25$, $BC = 15$, $CF : DF = 3 : 2$.
- 1
Из отношения $CF : DF = 3 : 2$ следует, что вся боковая сторона $CD$ состоит из $5$ равных частей, а $CF$ — из $3$ таких частей. Поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{3}{5}$.$$\frac{CF}{CD}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$$
- 2
При перемещении параллельного основания от $BC$ к $AD$ длина сечения увеличивается от $15$ до $25$. На доле $\dfrac{3}{5}$ этого пути увеличение длины равно:$$\frac{3}{5}(AD-BC)=\frac{3}{5}(25-15)=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 30$, $CD = 40$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 20.
- 1
Проведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $15$.$$\frac{AB}{2}=\frac{30}{2}=15$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=20^2+15^2=400+225=625,\quad R=25$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 18$.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, сумма углов $A$ и $B$, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Точка $F$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$. Поэтому в треугольнике $AFB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ трапеции. Их сумма равна $90^\circ$, следовательно, треугольник $AFB$ прямоугольный, а $AB$ — его…$$\angle AFB = \dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 20$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Половина хорды $AB$ равна $20 : 2 = 10$.$$R^2 = 24^2 + 10^2$$
- 2
Найдём радиус окружности:$$R^2 = 576 + 100 = 676,\quad R = 26$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- 1
Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b = \sqrt{51^2 - 24^2} = \sqrt{2601 - 576} = \sqrt{2025} = 45$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой, проведённой к ней:$$\frac{24 \cdot 45}{2} = \frac{51h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 17$, $AC = 51$, $NC = 32$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Запишем отношение сходственных сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{17}{51} = \frac{1}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 8$, $AC = 32$.
- 1
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.$$AB^2 = AC \cdot AH$$
- 2
Подставим известные значения.$$AB^2 = 32 \cdot 8 = 256$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $66^\circ$ и $84^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $15$.
- 1
Найдём угол $A$ треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-66^\circ-84^\circ=30^\circ$$
- 2
По расширенной теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 5$, $AC = 20$.
- 1
Так как $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.
- 2
По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4{,}5$ и $18$, $BD = 9$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны. Прямая $BD$ пересекает эти параллельные прямые, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{4{,}5}{9} = \frac{1}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Основание параллелограмма состоит из отрезков длиной 3 и 7.$$a = 3 + 7 = 10$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма: площадь равна произведению основания на высоту.$$S = ah = 10 \cdot 4 = 40$$
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Точки $P$ и $K$ лежат на окружности, диаметр которой равен $BH$. По теореме Фалеса углы, опирающиеся на диаметр $BH$, прямые:$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
- 2
Поскольку $P$ лежит на стороне $AB$, а $K$ — на стороне $CB$, угол $PBK$ совпадает с прямым углом $ABC$:$$\angle PBK = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $24$, а половину второй диагонали обозначим через $x$.$$d_1=48,\quad \frac{d_1}{2}=24,\quad \frac{d_2}{2}=x$$
- 2
Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $24$ и $x$.$$a=\sqrt{24^2+x^2}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении