Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $24$, а половину второй диагонали обозначим через $x$.
$$d_1=48,\quad \frac{d_1}{2}=24,\quad \frac{d_2}{2}=x$$Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $24$ и $x$.
$$a=\sqrt{24^2+x^2}$$Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть $48x$. С другой стороны, площадь равна произведению стороны на высоту. Расстояние от точки $O$ до стороны равно половине высоты ромба, поэтому высота равна $24$.
$$S=\frac{48\cdot 2x}{2}=48x,\quad S=a\cdot 24$$Составим уравнение и найдём половину второй диагонали.
$$24\sqrt{24^2+x^2}=48x$$После возведения в квадрат получаем $x=\dfrac{24}{\sqrt{15}}$, поэтому вторая диагональ равна $\dfrac{48}{\sqrt{15}}$.
$$24^2(24^2+x^2)=48^2x^2,\quad x^2=\frac{576}{15},\quad d_2=2x=\frac{48}{\sqrt{15}}$$Для острого угла ромба используем формулу, выражающую косинус угла через диагонали.
$$\cos\alpha=\frac{d_1^2-d_2^2}{d_1^2+d_2^2}=\frac{48^2-\frac{48^2}{15}}{48^2+\frac{48^2}{15}}=\frac{7}{8}$$Следовательно, один угол равен $\arccos\dfrac{7}{8}$, а второй — смежный с ним угол.
$$\alpha=\arccos\frac{7}{8},\quad \beta=180^\circ-\alpha$$Углы ромба: $\arccos\dfrac{7}{8}$ и $180^\circ-\arccos\dfrac{7}{8}$, приблизительно $28{,}96^\circ$ и $151{,}04^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны высотой ромба, а не половиной высоты.
Забыть, что диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
Указать только один угол, не найдя второй смежный угол.