Решение: Расстояние до меньшего основания
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем $2c+a+b=220$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем:
$$4c=220,\quad c=55,\quad a+b=110$$Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту:
$$2420=\dfrac{a+b}{2}h=\dfrac{110}{2}h,\quad h=44$$В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна половине разности оснований. По теореме Пифагора:
$$55^2=44^2+\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2$$Следовательно:
$$\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=3025-1936=1089,\quad \dfrac{a-b}{2}=33$$Решая систему $a+b=110$ и $a-b=66$, получаем:
$$a=88,\quad b=22$$Точка пересечения диагоналей делит их так, что расстояние от меньшего основания до точки пересечения равно доле высоты, соответствующей меньшему основанию:
$$x=h\cdot\dfrac{b}{a+b}=44\cdot\dfrac{22}{110}=\dfrac{44}{5}$$\dfrac{44}{5}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют неверное условие для трапеции, в которую вписана окружность.
Ошибочно вычисляют высоту из формулы площади.
Берут расстояние до большего основания вместо расстояния до меньшего.
Считают, что точка пересечения диагоналей является серединой диагоналей.