Решение: Диаметр в циклическом четырёхугольнике
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 3$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $94^\circ$ и $131^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Поскольку $M$ лежит на $AD$ и является его серединой, $AD$ — диаметр этой окружности.
$$AD = 2R$$Вписанный угол $C = 131^\circ$ опирается на дугу $BAD$, содержащую диаметр $AD$, поэтому дуга $AB$ равна
$$\overset{\frown}{AB} = 2\cdot 131^\circ - 180^\circ = 82^\circ$$Аналогично, вписанный угол $B = 94^\circ$ опирается на дугу $ADC$, содержащую диаметр $AD$, поэтому
$$\overset{\frown}{CD} = 2\cdot 94^\circ - 180^\circ = 8^\circ$$Так как дуга $ABCD$ равна $360^\circ$, найдём дугу $BC$:
$$\overset{\frown}{BC} = 360^\circ - 180^\circ - 82^\circ - 8^\circ = 90^\circ$$Хорда $BC$ стягивает центральный угол $90^\circ$. Поэтому в равнобедренном треугольнике, образованном радиусами и хордой $BC$, половина хорды равна $R\sin 45^\circ$. С учётом $AD=2R$ получаем:
$$BC = 2R\sin 45^\circ = AD\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$Подставим $BC=3$ и найдём длину диаметра $AD$:
$$3 = AD\cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad AD = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$$3\sqrt{2}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не замечают, что точка $M$ является центром окружности, а $AD$ — её диаметром.
Путают вписанный и центральный углы и не удваивают величину вписанного угла.
Используют длину дуги вместо длины хорды $BC$.