Решение: Основания трапеции по средним отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $50^\circ$ и $40^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $15$ и $13$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.
$$m=\frac{a+b}{2}$$Пусть $D=a-b$. Горизонтальная проекция высоты на каждом из краёв трапеции равна соответственно $h\cot50^\circ$ и $h\cot40^\circ$. Поэтому
$$D=h(\cot50^\circ+\cot40^\circ)=\frac{2h}{\sin80^\circ}$$Второй отрезок соединяет середины оснований. Его горизонтальная составляющая равна $D/2$, а вертикальная — $h$, поэтому
$$n^2=h^2+\frac{D^2}{4}=h^2\left(1+\frac{1}{\sin^2 80^\circ}\right)$$Если отрезок между серединами боковых сторон равен $15$, а второй равен $13$, то
$$a+b=30,\quad h=\frac{13}{\sqrt{1+1/\sin^2 80^\circ}},\quad D=\frac{26}{\sqrt{1+\sin^2 80^\circ}}$$В этом случае основания равны
$$a=\frac{30+D}{2}\approx24{,}26,\quad b=\frac{30-D}{2}\approx5{,}74$$Если отрезок между серединами боковых сторон равен $13$, а второй равен $15$, то
$$a+b=26,\quad h=\frac{15}{\sqrt{1+1/\sin^2 80^\circ}},\quad D=\frac{30}{\sqrt{1+\sin^2 80^\circ}}$$Во втором случае основания равны
$$a=\frac{26+D}{2}\approx23{,}69,\quad b=\frac{26-D}{2}\approx2{,}31$$При данных формулировке и наборе длин возможны два варианта оснований: примерно $24{,}26$ и $5{,}74$ либо $23{,}69$ и $2{,}31$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать оба отрезка средними линиями трапеции.
Забыть, что горизонтальная составляющая второго отрезка равна половине разности оснований.
Однозначно выбрать соответствие длин $15$ и $13$ без дополнительного указания в условии.