Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}75x^2 + 1{,}5x)\cdot |x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции определяется условием $x+2\ne 0$, поэтому $x\ne -2$.$$D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$
- 2
Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2+1{,}5x=0{,}75x(x+2)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & x\ge -2,\\ -\dfrac{2}{x}, & x<-2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
- 1
Первая часть функции — парабола $y=(x+1)^2$, взятая при $x\ge -2$. Её вершина имеет координаты $(-1;0)$, а точка при $x=-2$ равна $(-2;1)$ и принадлежит графику.$$y=(x+1)^2$$
- 2
Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{2}{x}$ при $x<-2$. При приближении к точке $x=-2$ слева значение $y$ стремится к $1$, но точка $(-2;1)$ для этой части не входит в график. Значения этой ветви лежат в интервале $0<y<1$.$$0<y<1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=x^2-8x-4|x-3|+15$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, а при $x\geqslant 3$ имеем $|x-3|=x-3$.
- 2
Получаем кусочную жазба функции:$$y=\begin{cases}x^2-4x+3=(x-2)^2-1, & x<3,\\ x^2-12x+27=(x-6)^2-9, & x\geqslant 3.\end{cases}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \left|x^2 - 6x + 5\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
- 1
Преобразуем выражение под знаком модуля:$$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = (x - 3)^2 - 4$$
- 2
Нули функции находятся при $x = 1$ и $x = 5$. Вершина параболы $y = x^2 - 6x + 5$ имеет координаты $(3; -4)$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=2|x-4|-x^2+9x-20$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем знак модуля. При $x<4$ имеем $|x-4|=4-x$, поэтому$$y=2(4-x)-x^2+9x-20=-x^2+7x-12=-(x-3)(x-4)$$
- 2
При $x\geqslant4$ имеем $|x-4|=x-4$, поэтому$$y=2(x-4)-x^2+9x-20=-x^2+11x-28=-(x-4)(x-7)$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
126ФИПИ 32AB12№ 22Күрделі Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2+x)\cdot |x|}{x+1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения функции: $x\ne -1$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$
- 2
Раскладываем числитель на множители и сокращаем общий множитель $x+1$, сохраняя ограничение $x\ne -1$.$$y=\frac{x(x+1)|x|}{x+1}=x|x|,\quad x\ne -1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=2|x-5|-x^2+11x-30$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению.$$y=\begin{cases}-x^2+9x-20,&x<5,\\-x^2+13x-40,&x\geqslant5.\end{cases}$$
- 2
Для левой ветви выделим полный квадрат.$$y=-(x-\frac92)^2+\frac14,\quad x<5$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\geq -5,\\ -\dfrac{45}{x}, & x<-5,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
- 1
Первую часть функции представим в виде $y=(x+2)^2$. Это парабола с вершиной $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$, рассматриваемая только при $x\geq -5$. В точке $x=-5$ она имеет значение $y=9$, поэтому точка $(-5;9)$ принадлежит графику.$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$
- 2
Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{45}{x}$ при $x<-5$. На этом промежутке значения функции положительны, стремятся к $0$ при $x\to-\infty$ и к $9$ при $x\to-5-$. Значения $0$ и $9$ эта ветвь не принимает.$$0< -\dfrac{45}{x}<9$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = 3|x+7| - x^2 - 13x - 42$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<-7$ имеем $|x+7|=-(x+7)$, поэтому$$y=-3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-16x-63=-(x+8)^2+1$$
- 2
При $x\geqslant -7$ имеем $|x+7|=x+7$, поэтому$$y=3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-10x-21=-(x+5)^2+4$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=5|x-2|-x^2+5x-6$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем знак модуля по определению.$$y=\begin{cases}5(2-x)-x^2+5x-6=4-x^2,&x<2,\\5(x-2)-x^2+5x-6=9-(x-5)^2,&x\geqslant2.\end{cases}$$
- 2
Левая часть графика — ветвь параболы $y=4-x^2$ при $x<2$. Её вершина имеет координаты $(0;4)$, а точка $(2;0)$ не входит в эту ветвь.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=3|x+2|-x^2-3x-2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x\geq -2$ имеем $|x+2|=x+2$, поэтому функция принимает вид:$$y=3(x+2)-x^2-3x-2=4-x^2$$
- 2
При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, поэтому:$$y=-3(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-6x-8=1-(x+3)^2$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{4{,}5|x|-1}{|x|-4{,}5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Знаменатель функции равен нулю при $|x|-4{,}5x^2=0$. Так как $x^2=|x|^2$, получаем $|x|(1-4{,}5|x|)=0$. Поэтому $x=0$ или $|x|=\dfrac{2}{9}$ — эти значения исключаются из области определения.$$|x|-4{,}5x^2=|x|(1-4{,}5|x|)$$
- 2
При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=\dfrac{4{,}5x-1}{x-4{,}5x^2}=-\dfrac{1}{x}$, причём точка $x=\dfrac{2}{9}$ исключена.$$y=\dfrac{4{,}5x-1}{x(1-4{,}5x)}=-\dfrac{1}{x},\quad x>0,\ x\ne\dfrac{2}{9}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}25x^2-x)\cdot |x|}{x-4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne 4$.
- 2
При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Тогда$$y=\frac{(0{,}25x^2-x)(-x)}{x-4}=\frac{-x^2(0{,}25x-1)}{x-4}=-\frac{x^2}{4}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+11, & x\ge 2,\\ x+3, & x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Преобразуем квадратный трёхчлен:$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
- 2
При $x\ge 2$ график является частью параболы $y=(x-3)^2+2$. Её вершина имеет координаты $(3;2)$, а точка при $x=2$ равна $(2;3)$ и входит в график.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=-1-\dfrac{x-4}{x^2-4x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
- 1
Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-4x=x(x-4)\ne0,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$
- 2
Разложим знаменатель на множители и сократим общий множитель $x-4$, сохраняя ограничение $x\ne4$:$$y=-1-\frac{x-4}{x(x-4)}=-1-\frac1x,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{5{,}5}-\dfrac{5{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{5{,}5}+\dfrac{5{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с…
- 1
Обозначим $a=\dfrac{x}{5{,}5}$ и $b=\dfrac{5{,}5}{x}$. Тогда исходная функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$, причём $x\neq 0$.$$y=\max\left(\dfrac{x}{5{,}5},\dfrac{5{,}5}{x}\right)$$
- 2
Точки смены ветвей находятся из равенства $\dfrac{x}{5{,}5}=\dfrac{5{,}5}{x}$, откуда $x^2=30{,}25$ и $x=\pm 5{,}5$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x+2)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=-x(x+2)-5x=-x^2-7x$$
- 2
При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:$$y=x(x+2)-5x=x^2-3x$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y=\begin{cases}x-2{,}5, & x<2,\\-x+1{,}5, & 2\le x\le 3,\\x-5, & x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
- 1
Первая часть графика задаётся формулой $y=x-2{,}5$ при $x<2$. Поэтому её множество значений: $y<-0{,}5$. При каждом таком значении прямая $y=m$ пересекает эту часть в одной точке.$$m< -0{,}5$$
- 2
Вторая часть задаётся формулой $y=-x+1{,}5$ при $2\le x\le3$. На концах отрезка получаем значения $-0{,}5$ и $-1{,}5$, поэтому множество значений этой части: $-1{,}5\le y\le-0{,}5$.$$-1{,}5\le m\le-0{,}5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \begin{cases} 3x - 3, & x < 2, \\ -3x + 8{,}5, & 2 \le x \le 3, \\ 3{,}5x - 11, & x > 3. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с…
- 1
Построим первую часть графика $y = 3x - 3$ при $x < 2$. При $x = 2$ значение равно $3$, но точка $(2; 3)$ не входит в график. Область значений этой части: $y < 3$.$$y = 3x - 3,\quad x < 2$$
- 2
Построим вторую часть графика $y = -3x + 8{,}5$ на отрезке $2 \le x \le 3$. На концах отрезка получаем точки $(2; 2{,}5)$ и $(3; -0{,}5)$. Область значений: $-0{,}5 \le y \le 2{,}5$.$$y(2)=2{,}5,\quad y(3)=-0{,}5$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}25x^2 + x)\cdot |x|}{x+4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
- 1
Найдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x+4\ne 0,\quad x\ne -4$$
- 2
Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, сохранив ограничение $x\ne -4$.$$0{,}25x^2+x=\frac{x^2}{4}+x=\frac{x(x+4)}{4},\quad y=\frac{x(x+4)|x|}{4(x+4)}=\frac{x|x|}{4},\quad x\ne -4$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде