Тапсырма 22 ОГЭ по математика: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Разложим знаменатель и учтём область определения:$$|x|-4x^2=|x|(1-4|x|),\quad x\ne0,\quad |x|\ne\dfrac14$$

Так как $1-4|x|=-(4|x|-1)$, функцию можно сократить на $4|x|-1$ при условии $|x|\ne\dfrac14$:$$y=\dfrac{4|x|-1}{|x|(1-4|x|)}=-\dfrac1{|x|}$$

Раскроем знаки модуля на двух промежутках.$$y=\begin{cases}-x^2-8x=16-(x+4)^2, & x<0,\\ x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

При $x<0$ получаем левую ветвь параболы, направленную вниз, с вершиной $(-4;16)$. Точка с абсциссой $0$ в эту ветвь не входит.

Найдём нули выражения под знаком модуля: $x^2 - 9 = 0$, поэтому $x = -3$ и $x = 3$.

Раскроем модуль по промежуткам:$$y = |x^2 - 9| = \begin{cases}x^2 - 9, & x \leq -3 \text{ или } x \geq 3,\\ 9 - x^2, & -3 \leq x \leq 3.\end{cases}$$

Раскроем модули в зависимости от знака $x$. Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=x(-x)-(-x)-2x=-x^2-x$$

Если $x\geqslant 0$, то $|x|=x$, поэтому:$$y=x^2-x-2x=x^2-3x$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули:$$x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1),\quad x_1=-4,\ x_2=-1$$

Вершина параболы $y = x^2 + 5x + 4$ имеет координаты:$$x_0=-\frac{5}{2},\quad y_0=\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\left(-\frac{5}{2}\right)+4=-\frac{9}{4}$$

Рассмотрим параболу $y=x^2-4x+3$. Преобразуем выражение:$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3)$$

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(1;0)$ и $(3;0)$, а её вершина имеет координаты $(2;-1)$. Под знаком модуля отрицательная часть графика отражается относительно оси абсцисс.

Раскроем модуль в зависимости от знака выражения $x+2$.$$y=\begin{cases}-4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-7x-10, & x<-2,\\4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2+x+6, & x\geqslant -2.\end{cases}$$

Левая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2-7x-10$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату $y=\dfrac{9}{4}$. При $x=-2$ значение выражения равно $0$, но точка с этой абсциссой в левую часть не входит.

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной в точке $(-1,0)$: $y=x^2+2x+1=(x+1)^2$. Рассматривается только ветвь при $x\geq-2$; точка $(-2,1)$ входит в график.$$y=(x+1)^2$$

Для пересечения параболы с прямой $y=m$ решаем уравнение $(x+1)^2=m$. При $m<0$ решений нет, при $m=0$ есть одно решение $x=-1$. При $0<m\leq1$ оба корня принадлежат области $x\geq-2$, поэтому точек две. При $m>1$ левый корень меньше…

Разложим выражение под знаком модуля на множители:$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

Нули функции имеют абсциссы $x=-3$ и $x=-2$. Вершина исходной параболы находится в точке с абсциссой $x=-\frac52$:$$y_0=\left(-\frac52\right)^2+5\left(-\frac52\right)+6=-\frac14$$

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-2x=x(x-2)\ne0,\quad x\ne0,\ x\ne2$$

Сократим дробь на множитель $x-2$, но сохраним ограничение $x\ne2$:$$y=-5-\dfrac{x-2}{x(x-2)}=-5-\dfrac1x,\quad x\ne0,\ x\ne2$$

Для первого участка строим луч прямой $y=x-0{,}5$ при $x<-2$. При $x=-2$ значение равно $y=-2{,}5$, но точка $(-2;-2{,}5)$ не входит в этот участок.$$y=x-0{,}5,\quad x<-2$$

Для второго участка строим отрезок прямой $y=-2x-6{,}5$ на отрезке $[-2;-1]$. Его концы: $(-2;-2{,}5)$ и $(-1;-4{,}5)$.$$y(-2)=-2{,}5,\quad y(-1)=-4{,}5$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с выделенным квадратом:$$y=-x^2-2x+1=2-(x+1)^2$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;2)$. Рассматривается только часть параболы при $x\geqslant -3$. В граничной точке получаем $y(-3)=-2$, поэтому на отрезке $[-3;-1]$ функция возрастает от $-2$…

Область определения функции: $x\neq 0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2}$ и $b=\dfrac{2}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.$$\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$

Ветви сравниваются по равенству $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{x}$, откуда $x^2=4$ и $x=\pm2$.

Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения: $x\ne-3$.$$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$

При допустимых значениях $x$ сократим множитель $x+3$ в числителе и знаменателе.$$y=\dfrac{x(x+3)|x|}{x+3}=x|x|,\quad x\ne-3$$

Найдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x - 4 \ne 0,\quad x \ne 4$$

Разложим числитель на множители и сократим дробь при условии $x \ne 4$.$$y = \dfrac{0{,}5x(x - 4)|x|}{x - 4} = 0{,}5x|x|$$

Область определения исходной функции задаётся условием $x+1\ne0$, то есть $x\ne-1$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$

Числитель можно разложить на множители:$$0{,}5x^2+0{,}5x=0{,}5x(x+1)$$

Область определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne 2$.

Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому$$y=\begin{cases}\dfrac{-0{,}5x^3+x^2}{x-2},&x<0,\\[6pt]\dfrac{0{,}5x^3-x^2}{x-2},&x\ge 0,\ x\ne2.\end{cases}$$

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь, учитывая ограничения на $x$:$$x^2 - 5x = x(x-5),\quad y = 2 - \frac{x-5}{x(x-5)} = 2 - \frac{1}{x},\quad x \ne 0,\ x \ne 5$$

График функции $y = 2 - \dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x = 0$ и $y = 2$. Из-за ограничения $x \ne 5$ на графике отсутствует точка с абсциссой $5$.$$y(5) = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$$

Раскроем модули в зависимости от знака $x$. При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому функция принимает вид$$y=x^2-x-6x=x^2-7x$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому$$y=-x^2+x+6x=-x^2-5x$$

Разложим числитель на множители и укажем область определения исходной функции:$$0{,}25x^2+0{,}5x=0{,}25x(x+2),\qquad x\ne -2$$

При $x\ne -2$ сократим общий множитель $x+2$:$$y=\dfrac{0{,}25x(x+2)|x|}{x+2}=\dfrac{x|x|}{4}$$