Задание 22 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - x - 2$. Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули.$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),\quad x=-1,\ x=2$$

Парабола $y=x^2-x-2$ направлена ветвями вверх и расположена ниже оси абсцисс на промежутке $(-1;2)$. Поэтому при построении графика функции с модулем часть параболы ниже оси абсцисс отражается симметрично относительно оси абсцисс.

Область определения функции задаётся условием $x+2\ne0$, то есть $x\ne-2$.

Разложим числитель на множители:$$0{,}5x^2+x=\frac{x(x+2)}{2}$$

Область определения функции: $x\ne 0$. Применим тождество для модуля:$$\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$

Следовательно, исходная функция имеет вид:$$y=\max\left(\frac{x}{4},\frac{4}{x}\right)$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=x(-x)-x-6x=-x^2-7x$$

При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:$$y=x^2+x-6x=x^2-5x$$

Разложим знаменатель на множители:$$3x^2+5x=x(3x+5)$$

Область определения исходной функции задаётся условиями $x \ne 0$ и $3x+5 \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $x \ne -\dfrac{5}{3}$.$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{5}{3}\right\}$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2-6x+6=(x-3)^2-3,\quad x\ge 2$$

Парабола имеет вершину $(3,-3)$ и начинается с закрашенной точки $(2,-2)$. Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид:$$(x-3)^2-3=m,\quad x=3\pm\sqrt{m+3}$$

Разложим знаменатель на множители:$$6x^2+7x=x(6x+7)$$

Учитывая ограничения исходной функции, получаем область определения $x\ne 0$ и $x\ne -\dfrac{7}{6}$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{7}{6}\right\}$$

Разложим знаменатель на множители:$$7x^2 - 10x = x(7x - 10)$$

При $x \ne 0$ и $x \ne \dfrac{10}{7}$ сократим общий множитель $7x - 10$:$$y = \dfrac{7x - 10}{x(7x - 10)} = \dfrac{1}{x}$$

Знаменатель обращается в ноль при $x=2$, поэтому $x=2$ не входит в область определения.$$2-x\ne 0\Rightarrow x\ne 2$$

Для всех допустимых значений $x$ сократим множитель $x-2$, используя равенство $2-x=-(x-2)$.$$y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}=-(x^2+1)=-x^2-1,\quad x\ne 2$$

Область определения функции: $x\ne0$.

Обозначим $a=\dfrac{x}{6}$ и $b=\dfrac{6}{x}$. Тогда функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}$, то есть равна большему из чисел $a$ и $b$.

При $x \ge 2$ имеем $y = -x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2$. Это часть параболы, направленной ветвями вниз, с вершиной $(3; 0)$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -1)$, которая принадлежит графику.$$y = -(x - 3)^2, \quad x \ge 2$$

При $x < 2$ график задаётся лучом $y = -x$. Точка $(2; -2)$ не входит в график, поэтому на рисунке она отмечается выколотой.

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2+5x=x(x+5)\ne0$$

Следовательно, $x\ne0$ и $x\ne-5$. Сократим общий множитель $x+5$ при этих ограничениях:$$y=3-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=3-\dfrac1x$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$-x^2-4x-1=-(x+2)^2+3$$

Вершина параболы находится в точке $(-2;3)$. На границе области $x=-3$ значение первой части равно $2$, поэтому точка $(-3;2)$ принадлежит графику. Парабола рассматривается только при $x\geq -3$.

Для первого участка $y=2x-2$ при $x<3$: при $x\to3-0$ значение $y\to4$, но точка с координатами $(3;4)$ для этого участка не входит в график. Область значений первого участка — $(-\infty,4)$.$$y=2x-2,\quad x<3$$

Для второго участка $y=-3x+13$ при $3\le x\le4$: $y(3)=4$, $y(4)=1$. Область значений — $[1,4]$.$$y=-3x+13,\quad 3\le x\le4$$

Найдём область определения функции. Знаменатель равен нулю при $x=0$ или $9x+1=0$, то есть при $x=-\dfrac{1}{9}$.$$9x^2+x=x(9x+1)$$

При допустимых значениях $x$ сократим общий множитель $9x+1$:$$y=\dfrac{9x+1}{x(9x+1)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,-\dfrac{1}{9}$$

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-2x, & x<0,\\ x^2-4x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

Левая часть графика является ветвью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;1)$, а точка соединения ветвей — $(0;0)$.$$y=-x^2-2x=-(x+1)^2+1$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne -1$. При допустимых значениях $x$ преобразуем функцию:$$y=\frac{(x^2+0{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+0{,}25)=-x^2-0{,}25$$

График — парабола $y=-x^2-0{,}25$ с вершиной в точке $(0;-0{,}25)$. Точка параболы с абсциссой $-1$ имеет координаты $(-1;-1{,}25)$ и должна быть выколота.$$(-1)^2+0{,}25=1{,}25$$

Первую часть функции представим в виде параболы с вершиной:$$y=-x^2-2x+2=-(x+1)^2+3$$

Вершина параболы находится в точке $(-1;3)$. Из-за условия $x\geq -3$ левая граница этой части графика — точка $(-3;-1)$, так как:$$y(-3)=-(-3)^2-2(-3)+2=-1$$

Первую часть функции преобразуем к виду вершины параболы:$$-x^2+10x-21=-(x-5)^2+4$$

Это парабола с вершиной $(5;4)$, ветви направлены вниз. Рассматривается только часть при $x\ge 3$. При $x=3$ получаем $y=0$, поэтому точка $(3;0)$ принадлежит графику.

Область определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x \ne 1$.$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$

При $x < 0$ значение модуля равно $|x|=-x$. Сокращая общий множитель $x-1$, получаем:$$y=\frac{(x^2-x)(-x)}{x-1}=\frac{x(x-1)(-x)}{x-1}=-x^2$$