Математика ОГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Обозначим $AB = m$, $BC = n$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ была вертикальной осью. Тогда можно записать координаты вершин:$$A=(m\sin\alpha, m\cos\alpha),\quad C=(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$$

По теореме о биссектрисе точка $E$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC = AB:BC = m:n$. Поэтому координата $x$ точки $E$ равна нулю, а её координата $y$ равна:$$BE=\frac{2mn\cos\alpha}{m+n}=16$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(7,0)$, $A=(0,h)$, $D=(14,h)$. Пусть $E=(0,e)$.$$AD=14,\quad BC=7$$

Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а радиус равен $r$. Поэтому уравнение окружности имеет вид:$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\varphi$. Разместим точку $B$ в начале координат, а биссектрису $BE$ направим вдоль оси абсцисс. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\varphi,c\sin\varphi),\quad C=(a\cos\varphi,-a\sin\varphi)$$

Так как $D$ — середина отрезка $BC$, её координаты равны:$$D=\left(\frac{a\cos\varphi}{2},-\frac{a\sin\varphi}{2}\right)$$

Диаметр окружности равен $16$, значит её радиус равен $8$. Обозначим центр окружности через $O$.$$OB = OC = 8$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Для точки $B$ рассмотрим её проекцию на прямую $AO$. Так как $OB = OA = R$, из прямоугольного треугольника, образованного радиусом и проекцией, получаем:$$AB^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AB$$

Аналогично для точки $C:$$AC^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AC$$

Расположим $A$ в начале координат, а $AC$ направим вдоль положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(18;0)$ и $N(40;0)$.

Центр $O$ окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Поэтому $O(29;k)$, а радиус окружности равен$$R=\sqrt{(29-18)^2+k^2}=\sqrt{121+k^2}$$

Введём координаты: $B(0,0)$, $C(12,0)$, $A(0,h)$, $D(14,h)$, где $h=AB$. Пусть $E(0,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(k,e)$, а радиус равен $|k|$.$$AD=14,\quad BC=12$$

Так как точка $C$ лежит на окружности, получаем:$$(12-k)^2+e^2=k^2$$

Обозначим центры первой и второй окружностей через $O_1$ и $O_2$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим общим касательным.

Поскольку $AC$ и $BD$ — общие внешние касательные, точки $A$ и $B$ являются концами диаметра первой окружности, а точки $C$ и $D$ — концами диаметра второй окружности. Поэтому прямые $AB$ и $CD$ проходят через центры окружностей.

Введём координаты: $B(0,0)$, $C(5,0)$, $A(0,h)$, $D(6,h)$, где $h>0$. Пусть $E(0,e)$.

Окружность касается прямой $AB$, то есть оси $y$, в точке $E$. Поэтому её центр имеет координаты $(r,e)$, а уравнение окружности имеет вид $(x-r)^2+(y-e)^2=r^2$.

Радиус окружности равен половине диаметра:$$OB = OC = \frac{8{,}4}{2} = 4{,}2$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный:$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Обозначим $AB=b$, а угол между сторонами $AB$ и $AD$ — через $\alpha$. Тогда высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $b\sin\alpha$.

Рассмотрим пересечение биссектрис углов $A$ и $B$. Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов вдоль $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов вдоль $BA$…

Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(b,h)$, $C=(b+4,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, причём $BC=4$.

Так как $CD=13$, имеем:$$(b+4)^2+h^2=13^2=169$$

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Опустим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $AO$. Для точки $B$ проекция отрезка $AB$ на $AO$ равна $\dfrac{AB^2}{2R}$, а для точки $C$ — $\dfrac{AC^2}{2R}$. Это следует из…$$x_B = \dfrac{AB^2}{2R}, \qquad x_C = \dfrac{AC^2}{2R}$$

Поскольку $BD \perp AO$, точка $D$ имеет такую же проекцию на $AO$, как и точка $B$. Точка $D$ лежит на отрезке $AC$, поэтому отношение $AD:AC$ равно отношению проекций $x_B:x_C$.$$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{x_B}{x_C} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$$

По теореме о пересекающихся секущих, проведённых из точки $A$, произведения соответствующих отрезков равны:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Так как $AP = 34$, получаем:$$\frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{34}{AB}$$

Обозначим через $h$ высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $B$. Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов, точка $K$ равноудалена от сторон каждого из углов.$$d(K,AB)=d(K,AD)=d(K,BC)$$

Расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$. Следовательно, расстояние от точки $K$ до параллельной ей стороны $CD$ также равно $1$. Поэтому точка $K$ находится посередине между сторонами $AB$ и $CD$, а высота параллелограмма вдвое…$$h=2\cdot d(K,AB)=2$$

Пусть $E$ и $F$ — основания высот из точек $B$ и $C$ на прямую $AD$. Обозначим $AE=x$, тогда $DF=24-x$, поскольку $AD-BC=48-24=24$. Высоту трапеции обозначим через $h$.$$AB^2=x^2+h^2=169$$

Тангенсы углов при основании $AD$ равны $\dfrac{h}{x}$ и $\dfrac{h}{24-x}$. Так как сумма этих углов равна $90^\circ$, произведение тангенсов равно единице.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{24-x}=1\quad\Rightarrow\quad h^2=x(24-x)$$

Обозначим через $N$ вторую точку пересечения прямой $AD$ с окружностью. Так как центр окружности лежит на $BC$, а $AD\perp BC$, прямая $AD$ проходит через центр окружности перпендикулярно диаметру. Поэтому $M$ и $N$ симметричны…$$DN=69$$

По теореме о произведении отрезков двух пересекающихся хорд для точки $D$ имеем:$$DB\cdot DC=DM\cdot DN=69^2=4761$$

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. Угол $KAP$ равен углу $CAB$, так как лучи $AK$ и $AB$, а также $AP$ и $AC$ совпадают.$$\angle KAP = \angle CAB$$

Углы $AKP$ и $ACB$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BP$.$$\angle AKP = \angle ACB$$

Пусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, а $BH=h$. Обозначим $AH=x$. Так как разность оснований равна $32-24=8$, то горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $8-x$.$$AB^2=x^2+h^2=49$$

Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{8-x}=1$$

Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $R$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$.$$OB \perp AB$$

Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, причём $O$ находится на стороне $AC$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на окружности, $OB = OC = R$.$$AO + OC = AC = 12$$